Question

在四面体 $ABCD$ 中，棱 $AB$ 长 $3$ 厘米。面 $ABC$ 的面积为 $15\text{ cm}^2$ ，面 $ABD$ 的面积为 $12\text{ cm}^2$ 。这两个面之间的夹角为 $30^\circ$ 。求该四面体的体积，单位为 $\text{cm}^3$ 。

In tetrahedron $ABCD,$ edge $AB$ has length $3$ cm. The area of face $ABC$ is $15\text{ cm}^2$ and the area of face $ABD$ is $12\text{ cm}^2.$ These two faces meet each other at a $30^\circ$ angle. Find the volume of the tetrahedron in $\text{cm}^3.$

答案

答案：20

知识点：立体几何三角形面积体积

难度评级：2650

小提示：

求 $C$ 和 $D$ 到公共棱 $AB$ 的高

Find the altitudes from $C$ and $D$ to the common edge $AB$

大提示：

用公共棱长、两条高以及二面角的正弦表示四面体的体积

Express the tetrahedron’s volume using the common edge, the two altitudes, and the sine of the dihedral angle

解答：

设 $h_C$ 和 $h_D$ 分别为 $C$ 和 $D$ 到 $AB$ 的垂直距离。由两个面的面积可得 $\begin{aligned} h_C&=\frac{2\cdot15}{3}=10,\\ h_D&=\frac{2\cdot12}{3}=8 \end{aligned}\text{。}$ 这两个垂直方向之间的夹角就是 $30^\circ$ 的二面角。因此，由标量三重积可得 $\begin{aligned} V&=\frac16(AB)h_Ch_D\sin30^\circ\\ &=\frac16\cdot3\cdot10\cdot8\cdot\frac12\\ &=20 \end{aligned}\text{。}$

Let $h_C$ and $h_D$ be the perpendicular distances from $C$ and $D$ to $AB.$ From the two face areas, $\begin{aligned} h_C&=\frac{2\cdot15}{3}=10,\\ h_D&=\frac{2\cdot12}{3}=8. \end{aligned}$ The angle between these two perpendicular directions is the $30^\circ$ dihedral angle. Hence the scalar triple product gives $\begin{aligned} V&=\frac16(AB)h_Ch_D\sin30^\circ\\ &=\frac16\cdot3\cdot10\cdot8\cdot\frac12\\ &=20. \end{aligned}$

1984 AIME 第 9 题

答案：20

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题