Question

三角形 $ABC$ 满足 $AB = 40$ 、 $AC = 31$ ，且 $\sin A = \frac{1}{5}$ 。这个三角形内接于长方形 $AQRS$ ，其中 $B$ 在 $\overline{QR}$ 上， $C$ 在 $\overline{RS}$ 上。求 $AQRS$ 的最大可能面积。

Triangle $ABC$ has $AB = 40,$ $AC = 31,$ and $\sin A = \frac{1}{5}.$ This triangle is inscribed in rectangle $AQRS$ with $B$ on $\overline{QR}$ and $C$ on $\overline{RS}.$ Find the maximum possible area of $AQRS.$

答案

答案：744

知识点：三角恒等式矩形最优化

难度评级：2990

小提示：

令 $\beta = \angle BAQ$ 、 $\gamma = \angle CAS$ ；面积为 $40\cos\beta \cdot 31\cos\gamma$ ，且 $\beta + \gamma = 90^\circ - A$ 。

With $\beta = \angle BAQ$ and $\gamma = \angle CAS,$ the area is $40\cos\beta \cdot 31\cos\gamma,$ and $\beta + \gamma = 90^\circ - A$

大提示：

积化和差： $2\cos\beta\cos\gamma = \cos(\beta - \gamma)$ $+ \sin A$ ，在 $\beta = \gamma$ 时最大

Product-to-sum: $2\cos\beta\cos\gamma = \cos(\beta - \gamma)$ $+ \sin A,$ maximized when $\beta = \gamma$

解答：

令 $\beta = \angle BAQ$ ， $\gamma = \angle CAS$ ，则 $\beta + \gamma = 90^\circ - A$ 。由直角三角形 $AQB$ 和 $ASC$ ，长方形的边长为 $AQ = 40\cos\beta$ 和 $AS = 31\cos\gamma$ ，所以它的面积为 $\begin{aligned} 40 \cdot 31 \cos\beta\cos\gamma \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \cos(\beta + \gamma)\bigr) \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \sin A\bigr) \end{aligned}\text{，}$ 这里使用了积化和差公式以及 $\cos(90^\circ - A) = \sin A$ 。

这个值在 $\beta = \gamma$ 时最大，且约束允许这样取，因此面积为 $620\left(1 + \frac{1}{5}\right) = 744$ 。

Let $\beta = \angle BAQ$ and $\gamma = \angle CAS,$ so $\beta + \gamma = 90^\circ - A.$ From the right triangles $AQB$ and $ASC,$ the sides of the rectangle are $AQ = 40\cos\beta$ and $AS = 31\cos\gamma,$ so its area is $\begin{aligned} 40 \cdot 31 \cos\beta\cos\gamma \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \cos(\beta + \gamma)\bigr) \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \sin A\bigr), \end{aligned}$ using the product-to-sum identity and $\cos(90^\circ - A) = \sin A.$

This is maximized when $\beta = \gamma,$ which the constraint allows, giving area $620\left(1 + \frac{1}{5}\right) = 744.$

2016 AIME I 第 9 题

答案：744

难度评级：2990

小提示：

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解答：

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