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2003 AIME II Problem 9

Below is the professionally curated solution for Problem 9 of the 2003 AIME II, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2003 AIME II solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:polynomialVieta’s Formulas

Difficulty rating: 2400

9.

Consider the polynomials P(x)=x6−x5−x3−x2−xP(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x and Q(x)=x4−x3−x2−1.Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1. Given that z1,z_1, z2,z_2, z3,z_3, and z4z_4 are the roots of Q(x)=0,Q(x) = 0, find P(z1)+P(z2)+P(z3)+P(z4).P(z_1) + P(z_2) + P(z_3) + P(z_4).

Solution:

Polynomial division gives P(x)=Q(x) (x2+1)+x2−x+1,P(x) = Q(x)\,(x^2 + 1) + x^2 - x + 1, so P(zi)=zi2−zi+1P(z_i) = z_i^2 - z_i + 1 for each root ziz_i of Q.Q.

By Vieta's formulas for Q(x)=x4−x3−x2−1,Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1, we have ∑zi=1\sum z_i = 1 and ∑i<jzizj=−1,\sum_{i \lt j} z_i z_j = -1, so ∑zi2=(∑zi)2−2∑i<jzizj=1+2=3.\sum z_i^2 = \left(\sum z_i\right)^2 - 2\sum_{i \lt j} z_i z_j = 1 + 2 = 3. Therefore ∑i=14P(zi)=3−1+4=6.\sum_{i=1}^4 P(z_i) = 3 - 1 + 4 = 6.

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