Question

有多少个正整数 $n$ 不超过 $1000$ ，使得 $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= \sin nt + i \cos nt \end{aligned}$ 对所有实数 $t$ 都成立？

For how many positive integers $n$ less than or equal to $1000$ is $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= \sin nt + i \cos nt \end{aligned}$ true for all real $t?$

答案

答案：250

知识点：棣莫弗定理复数三角恒等式

难度评级：2460

小提示：

写成 $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i\sin t)$ 且 $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt)$ 。

Write $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i\sin t)$ and $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt)$

大提示：

由棣莫弗定理，方程化为 $i^n = i$ ，因此 $n$ 必须比 $4$ 的某个倍数大 $1$ 。

By de Moivre the equation reduces to $i^n = i,$ so $n$ must be $1$ more than a multiple of $4$

解答：

因为 $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i \sin t)$ 且 $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt)$ ，由棣莫弗定理（应用于角 $-t$ ）可得 $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= i^n(\cos t - i\sin t)^n \\ &= i^n(\cos nt - i \sin nt) \end{aligned}\text{。}$

所以该等式对所有实数 $t$ 成立，当且仅当 $i^n = i$ ，也就是 $n \equiv 1 \pmod 4$ 。数值 $n = 1, 5, 9, \ldots, 997$ 给出不超过 $1000$ 的 $250$ 个正整数。

Since $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i \sin t)$ and $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt),$ de Moivre’s theorem (applied to angle $-t$ ) gives $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= i^n(\cos t - i\sin t)^n \\ &= i^n(\cos nt - i \sin nt). \end{aligned}$

So the equation holds for all real $t$ exactly when $i^n = i,$ that is, when $n \equiv 1 \pmod 4.$ The values $n = 1, 5, 9, \ldots, 997$ give exactly $250$ positive integers up to $1000.$

2005 AIME II 第 9 题

答案：250

难度评级：2460

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解答：

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