Question

若正整数 $n$ 恰有 $k$ 个正因数，且 $n$ 能被 $k$ 整除，则称 $n$ 是 $k$ -漂亮的。例如， $18$ 是 $6$ -漂亮的。令 $S$ 为小于 $2019$ 且 $20$ -漂亮的正整数之和。求 $\frac{S}{20}$ 。

Call a positive integer $n$ $k$ -pretty if $n$ has exactly $k$ positive divisors and $n$ is divisible by $k.$ For example, $18$ is $6$ -pretty. Let $S$ be the sum of the positive integers less than $2019$ that are $20$ -pretty. Find $\frac{S}{20}.$

答案

答案：472

知识点：因数个数质因数分解分类讨论

难度评级：2650

小提示：

写成 $n = 2^a 5^b m$ ，其中 $\gcd(m, 10) = 1$ ；被 $20$ 整除迫使 $a \ge 2$ 且 $b \ge 1$

Write $n = 2^a 5^b m$ with $\gcd(m, 10) = 1;$ divisibility by $20$ forces $a \ge 2$ and $b \ge 1$

大提示：

此时 $(a+1)(b+1)\tau(m) = 20$ ，且 $a + 1 \ge 3$ 、 $b + 1 \ge 2$ ；检查哪些分解能使 $n \lt 2019$

Then $(a+1)(b+1)\tau(m) = 20$ with $a + 1 \ge 3$ and $b + 1 \ge 2;$ check which factorizations keep $n \lt 2019$

解答：

我们需要 $n$ 是 $20$ 的倍数且 $\tau(n) = 20$ 。写 $n = 2^a 5^b m$ ，其中 $\gcd(m, 10) = 1$ ；于是 $a \ge 2$ 、 $b \ge 1$ ，并且 $(a + 1)(b + 1)\tau(m) = 20$ ，其中 $a + 1 \ge 3$ 、 $b + 1 \ge 2$ 。因子 $a + 1$ 必须是至少为 $3$ 的 $20$ 的因数，即 $4$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $20$ 中之一。

若 $a + 1 = 4$ ，则 $(b + 1)\tau(m) = 5$ 迫使 $b = 4$ 、 $m = 1$ ，于是 $n = 2^3 5^4 = 5000$ ，太大。若 $a + 1 = 10$ ，则 $b = 1$ 、 $m = 1$ ，且 $n = 2^9 \cdot 5 = 2560$ ，太大。 $a + 1 = 20$ 不可能，因为 $b + 1 \ge 2$ 。若 $a + 1 = 5$ ，则 $(b + 1)\tau(m) = 4$ ，得到两种情况： $b = 3$ 、 $m = 1$ ，所以 $n = 2^4 5^3 = 2000 \lt 2019$ ，或 $b = 1$ 且 $\tau(m) = 2$ ，所以 $m = p$ 是不同于 $2$ 和 $5$ 的质数，且 $n = 80p \lt 2019$ ，即 $p \le 25$ ： $p \in \{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$ 。

因此 $\begin{aligned} S &= 2000 + 80(3 + 7 + 11 + 13 \\ &\qquad {}+ 17 + 19 + 23) \\ &= 2000 + 80 \cdot 93 \\ &= 9440 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $\frac{S}{20} = 472$ 。

We need $n$ to be a multiple of $20$ and $\tau(n) = 20.$ Write $n = 2^a 5^b m$ with $\gcd(m, 10) = 1;$ then $a \ge 2,$ $b \ge 1,$ and $(a + 1)(b + 1)\tau(m) = 20$ with $a + 1 \ge 3$ and $b + 1 \ge 2.$ The factor $a + 1$ must be a divisor of $20$ that is at least $3:$ one of $4,$ $5,$ $10,$ $20.$

If $a + 1 = 4,$ then $(b + 1)\tau(m) = 5$ forces $b = 4,$ $m = 1,$ so $n = 2^3 5^4 = 5000,$ too large. If $a + 1 = 10,$ then $b = 1,$ $m = 1,$ and $n = 2^9 \cdot 5 = 2560,$ too large. The case $a + 1 = 20$ is impossible because $b + 1 \ge 2.$ If $a + 1 = 5,$ then $(b + 1)\tau(m) = 4,$ giving either $b = 3,$ $m = 1,$ so $n = 2^4 5^3 = 2000 \lt 2019,$ or $b = 1$ and $\tau(m) = 2,$ so $m = p$ is a prime other than $2$ and $5$ and $n = 80p \lt 2019,$ i.e. $p \le 25:$ $p \in \{3, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}.$

Therefore $\begin{aligned} S &= 2000 + 80(3 + 7 + 11 + 13 \\ &\qquad {}+ 17 + 19 + 23) \\ &= 2000 + 80 \cdot 93 \\ &= 9440, \end{aligned}$ and $\frac{S}{20} = 472.$

2019 AIME II 第 9 题

答案：472

难度评级：2650

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解答：

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