Question

两位数学家每天上午都喝咖啡休息。他们独立地在上午 $9$ 点到 $10$ 点之间的随机时刻到达自助餐厅，并停留恰好 $m$ 分钟。其中一人到达时另一人正在自助餐厅的概率为 $40\%$ ，且 $m = a - b\sqrt{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是正整数，且 $c$ 不被任何质数的平方整除。求 $a + b + c$ 。

Two mathematicians take a morning coffee break each day. They arrive at the cafeteria independently, at random times between $9$ a.m. and $10$ a.m., and stay for exactly $m$ minutes. The probability that either one arrives while the other is in the cafeteria is $40\%,$ and $m = a - b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

答案

答案：87

知识点：几何概率对立事件概率

难度评级：2400

小提示：

把两人的到达时间画成 $60 \times 60$ 正方形中的一个点；他们相遇当且仅当 $|x - y| \lt m$

Plot the two arrival times as a point in a $60 \times 60$ square; they meet exactly when $|x - y| \lt m$

大提示：

补集由两个直角三角形组成，合起来面积等于一个边长为 $60 - m$ 的正方形，所以 $(60 - m)^2 = \frac{3}{5} \cdot 3600$

The complement consists of two right triangles that fit together into a square of side $60 - m,$ so $(60 - m)^2 = \frac{3}{5} \cdot 3600$

解答：

令两人的到达时间分别为 $x$ 分钟和 $y$ 分钟，单位是上午 $9$ 点后的分钟，则 $(x, y)$ 在一个 $60 \times 60$ 的正方形中均匀分布。两人相遇当且仅当 $|x - y| \lt m$ 。

不相遇区域 $|x - y| \ge m$ 由两个直角边长为 $60 - m$ 的直角三角形组成，总面积为 $(60 - m)^2$ 。相遇概率为 $40\%$ ，意味着 $(60 - m)^2 = 0.6 \cdot 3600 = 2160\text{，}$ 所以 $60 - m = \sqrt{2160} = 12\sqrt{15}$ 。

因此 $m = 60 - 12\sqrt{15}$ ，且 $a + b + c = 60 + 12 + 15 = 87$ 。

Let the arrival times be $x$ and $y$ minutes after $9$ a.m., so $(x, y)$ is uniform in a $60 \times 60$ square. The two people meet exactly when $|x - y| \lt m.$

The non-meeting region $|x - y| \ge m$ consists of two right triangles with legs $60 - m,$ with total area $(60 - m)^2.$ Meeting with probability $40\%$ means $(60 - m)^2 = 0.6 \cdot 3600 = 2160,$ so $60 - m = \sqrt{2160} = 12\sqrt{15}.$

Thus $m = 60 - 12\sqrt{15},$ and $a + b + c = 60 + 12 + 15 = 87.$

1998 AIME 第 9 题

答案：87

难度评级：2400

小提示：

大提示：

解答：

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