Question

已知复数 $z$ 满足 $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ$ 。求大于 $z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}}$ 的最小整数。

Given that $z$ is a complex number such that $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ,$ find the least integer that is greater than $z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}}.$

答案

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知识点：复数棣莫弗定理

难度评级：2330

小提示：

若 $z + \frac{1}{z} = 2\cos\theta$ ，则 $z = \cos\theta \pm i\sin\theta$ ，位于单位圆上。

If $z + \frac{1}{z} = 2\cos\theta,$ then $z = \cos\theta \pm i\sin\theta$ lies on the unit circle

大提示：

由棣莫弗定理， $z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}} = 2\cos 6000^\circ$ ；把 $6000^\circ$ 对 $360^\circ$ 取余。

By de Moivre, $z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}} = 2\cos 6000^\circ;$ reduce $6000^\circ$ modulo $360^\circ$

解答：

由 $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ$ 得 $z^2 - (2\cos 3^\circ) z + 1 = 0$ ，所以 $z = \cos 3^\circ \pm i \sin 3^\circ$ ，在单位圆上。由棣莫弗定理， $\begin{aligned} z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}} &= 2\cos(2000 \cdot 3^\circ) \\ &= 2\cos 6000^\circ \end{aligned}\text{。}$

因为 $6000 = 16 \cdot 360 + 240$ ，所以它等于 $2\cos 240^\circ = -1$ 。大于 $-1$ 的最小整数是 $0$ 。

From $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ$ we get $z^2 - (2\cos 3^\circ) z + 1 = 0,$ so $z = \cos 3^\circ \pm i \sin 3^\circ,$ a point on the unit circle. By de Moivre’s theorem, $\begin{aligned} z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}} &= 2\cos(2000 \cdot 3^\circ) \\ &= 2\cos 6000^\circ. \end{aligned}$

Since $6000 = 16 \cdot 360 + 240,$ this equals $2\cos 240^\circ = -1.$ The least integer greater than $-1$ is $0.$

2000 AIME II 第 9 题

答案：0

难度评级：2330

小提示：

大提示：

解答：

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