Question

在梯形 $ABCD$ 中，腰 $\overline{BC}$ 垂直于底边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ ，且对角线 $\overline{AC}$ 与 $\overline{BD}$ 互相垂直。已知 $AB = \sqrt{11}$ ， $AD = \sqrt{1001}$ 。求 $BC^2$ 。

In trapezoid $ABCD,$ leg $\overline{BC}$ is perpendicular to bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD},$ and diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ are perpendicular. Given that $AB = \sqrt{11}$ and $AD = \sqrt{1001},$ find $BC^2.$

答案

答案：110

知识点：梯形坐标几何向量二次方程

难度评级：2450

小提示：

把 $B$ 放在原点，并令 $\overline{BC}$ 竖直： $A = (\sqrt{11}, 0)$ 、 $C = (0, h)$ 、 $D = (d, h)$ 。

Place $B$ at the origin with $\overline{BC}$ vertical: $A = (\sqrt{11}, 0),$ $C = (0, h),$ $D = (d, h)$

大提示：

对角线垂直给出 $d\sqrt{11} = h^2$ ；代入 $AD^2 = 1001$ ，得到关于 $h^2$ 的二次方程。

Perpendicular diagonals force $d\sqrt{11} = h^2;$ substitute into $AD^2 = 1001$ to get a quadratic in $h^2$

解答：

令 $B = (0, 0)$ 、 $A = (\sqrt{11}, 0)$ 、 $C = (0, h)$ 、 $D = (d, h)$ ，使 $\overline{BC}$ 竖直，且 $BC^2 = h^2$ 。两条对角线的向量为 $\overrightarrow{AC} = (-\sqrt{11}, h)$ 和 $\overrightarrow{BD} = (d, h)$ 。垂直条件给出 $-\sqrt{11}\,d + h^2 = 0$ ，所以 $d = \frac{h^2}{\sqrt{11}}$ 。

于是 $AD^2 = (d - \sqrt{11})^2 + h^2 = 1001$ 。令 $u = h^2$ ，得到 $\frac{(u - 11)^2}{11} + u = 1001$ ，即 $u^2 - 11u - 10890 = 0\text{。}$ 正根为 $u = \frac{11 + \sqrt{121 + 43560}}{2}$ $= \frac{11 + 209}{2} = 110$ ，所以 $BC^2 = 110$ 。

Place $B = (0, 0),$ $A = (\sqrt{11}, 0),$ $C = (0, h),$ and $D = (d, h),$ so that $\overline{BC}$ is vertical and $BC^2 = h^2.$ The diagonals give vectors $\overrightarrow{AC} = (-\sqrt{11}, h)$ and $\overrightarrow{BD} = (d, h),$ and perpendicularity means $-\sqrt{11}\,d + h^2 = 0,$ so $d = \frac{h^2}{\sqrt{11}}.$

Then $AD^2 = (d - \sqrt{11})^2 + h^2 = 1001.$ Setting $u = h^2,$ this becomes $\frac{(u - 11)^2}{11} + u = 1001,$ that is, $u^2 - 11u - 10890 = 0.$ The positive root is $u = \frac{11 + \sqrt{121 + 43560}}{2}$ $= \frac{11 + 209}{2} = 110,$ so $BC^2 = 110.$

2000 AIME II 第 8 题

答案：110

难度评级：2450

小提示：

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解答：

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