Question

正整数 $N$ 和 $N^2$ 都以同一串四位数字 $abcd$ 结尾（用 $10$ 进制表示），其中数字 $a$ 不为零。求三位数 $abc$ 。

The positive integers $N$ and $N^2$ both end in the same sequence of four digits $abcd$ when written in base $10,$ where digit $a$ is not zero. Find the three-digit number $abc.$

答案

答案：937

知识点：模运算中国剩余定理数字

难度评级：2710

小提示：

条件说明 $N^2 \equiv N \pmod{10^4}$ ，也就是 $N(N-1) \equiv 0 \pmod{2^4 \cdot 5^4}$

The condition says $N^2 \equiv N \pmod{10^4},$ i.e. $N(N-1) \equiv 0 \pmod{2^4 \cdot 5^4}$

大提示：

$N$ 与 $N-1$ 互质，所以 $16$ 和 $625$ 各自必须整除其中一个；四种情况中只有一种的首位数字 $a$ 非零

$N$ and $N-1$ are coprime, so $16$ and $625$ each divide one of them; only one of the four cases has nonzero leading digit $a$

解答：

条件为 $N^2 \equiv N \pmod{10^4}$ ，即 $N(N-1) \equiv 0 \pmod{2^4 \cdot 5^4}$ 。由于相邻整数互质， $16$ 必须整除 $N$ 或 $N - 1$ 中的一个， $625$ 也必须整除其中一个。这在模 $10000$ 意义下给出四种情况： $N \equiv 0$ 、 $N \equiv 1$ 、 $N \equiv 625$ （它是 $0$ 模 $625$ ，是 $1$ 模 $16$ ），以及 $N \equiv 9376$ （它是 $0$ 模 $16$ ，是 $1$ 模 $625$ ）。

后四位 $abcd$ 必须满足 $a \ne 0$ ，这排除了 $0000$ 、 $0001$ 和 $0625$ 。因此 $abcd = 9376$ ，例如 $9376^2 = 87909376$ ，所以 $abc = 937$ 。

The condition is $N^2 \equiv N \pmod{10^4},$ that is, $N(N-1) \equiv 0 \pmod{2^4 \cdot 5^4}.$ Since consecutive integers are coprime, $16$ divides one of $N,$ $N - 1$ and $625$ divides one of them. This gives four cases modulo $10000:$ $N \equiv 0,$ $N \equiv 1,$ $N \equiv 625$ (which is $0$ mod $625$ and $1$ mod $16$ ), and $N \equiv 9376$ (which is $0$ mod $16$ and $1$ mod $625$ ).

The last four digits $abcd$ must have $a \ne 0,$ which rules out $0000,$ $0001,$ and $0625.$ So $abcd = 9376$ — for instance $9376^2 = 87909376$ — and $abc = 937.$

2014 AIME I 第 8 题

答案：937

难度评级：2710

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