Question

对任意实数数列 $A=(a_1,a_2,a_3,\ldots)$ ，定义 $\Delta A$ 为数列 $(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,\ldots)$ ，其第 $n$ 项为 $a_{n+1}-a_n$ 。已知数列 $\Delta(\Delta A)$ 的每一项都等于 $1$ ，且 $a_{19}=a_{92}=0$ 。求 $a_1$ 。

For any sequence of real numbers $A=(a_1,a_2,a_3,\ldots),$ define $\Delta A$ to be the sequence $(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,\ldots),$ whose $n$ th term is $a_{n+1}-a_n.$ Suppose that all of the terms of the sequence $\Delta(\Delta A)$ are $1,$ and that $a_{19}=a_{92}=0.$ Find $a_1.$

答案

答案：819

知识点：二次方程递推因式分解

难度评级：1980

小提示：

二阶差分恒为 $1$ 的数列可由最高次项系数为 $\frac{1}{2}$ 的二次式表示

A sequence with constant second difference $1$ is given by a quadratic with leading coefficient $\frac{1}{2}$

大提示：

利用两个值为零的项，将这个二次式写成因式分解形式

Use the two zero terms to write the quadratic in factored form

解答：

二阶差分为 $1$ 的二次数列，其最高次项系数为 $\frac{1}{2}$ 。由于数列在下标 $19$ 和 $92$ 处取值为零， $a_n=\frac12(n-19)(n-92)\text{。}$ 因此 $a_1=\frac12(-18)(-91)=819$ 。

A quadratic sequence with second difference $1$ has leading coefficient $\frac{1}{2}.$ Since its values vanish at indices $19$ and $92,$ $a_n=\frac12(n-19)(n-92).$ Therefore $a_1=\frac12(-18)(-91)=819.$

1992 AIME 第 8 题

答案：819

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题