Question

令 $T$ 为非负实数有序三元组 $(x, y, z)$ 中位于平面 $x + y + z = 1$ 上的三元组集合。如果 $(x, y, z)$ 对 $(a, b, c)$ 满足以下三个条件中的恰好两个： $x \ge a$ 、 $y \ge b$ 、 $z \ge c$ ，就称前者支持后者。令 $S$ 为 $T$ 中所有支持 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$ 的三元组。 $S$ 的面积与 $T$ 的面积之比为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

Let $T$ be the set of ordered triples $(x, y, z)$ of nonnegative real numbers that lie in the plane $x + y + z = 1.$ Let us say that $(x, y, z)$ supports $(a, b, c)$ when exactly two of the following are true: $x \ge a,$ $y \ge b,$ $z \ge c.$ Let $S$ consist of those triples in $T$ that support $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right).$ The area of $S$ divided by the area of $T$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：25

知识点：面积比相似分类讨论

难度评级：2450

小提示：

$T$ 是一个三角形，每个类似 $x \ge \frac{1}{2}$ 的条件都会用一条平行于边的直线切下一角

$T$ is a triangle, and each condition like $x \ge \frac{1}{2}$ cuts off a corner with a line parallel to a side

大提示：

因为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$ ，三个不等式只会在一个边界点同时成立；除去该点，每个两不等式区域都是与 $T$ 相似的三角形

Since $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1,$ all three inequalities hold only at one boundary point; apart from that point, each two-inequality region is a triangle similar to $T$

解答：

$T$ 是顶点为 $(1,0,0)$ 、 $(0,1,0)$ 、 $(0,0,1)$ 的三角形。因为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z$ ，只要 $x \ge \frac{1}{2}$ 、 $y \ge \frac{1}{3}$ 、 $z \ge \frac{1}{6}$ 中有两个成立，第三个只能在一个零面积的边界点成立。因此除去这个点后， $S$ 是三个区域的并，每个区域对应于某一对不等式成立。

对于 $x \ge \frac{1}{2}$ 且 $y \ge \frac{1}{3}$ 的区域，代入 $x = \frac{1}{2} + x'$ 和 $y = \frac{1}{3} + y'$ 后，得到 $T$ 的一个副本，其坐标和为 $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ ，也就是与 $T$ 相似、相似比为 $\frac{1}{6}$ 的三角形，其面积为 $\left(\frac{1}{6}\right)^2$ 倍的 $T$ 面积。同理， $\{x, z\}$ 和 $\{y, z\}$ 两对给出的相似三角形的相似比分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

面积比为 $\begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18} \end{aligned}\text{，}$ 所以 $m + n = 7 + 18 = 25$ 。

$T$ is the triangle with vertices $(1,0,0),$ $(0,1,0),$ $(0,0,1).$ Because $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 = x + y + z,$ whenever two of the inequalities $x \ge \frac{1}{2},$ $y \ge \frac{1}{3},$ $z \ge \frac{1}{6}$ hold, the third can hold only at a boundary point of zero area. So $S$ is, up to measure zero, the union of the three regions where a specific pair of inequalities holds.

The region with $x \ge \frac{1}{2}$ and $y \ge \frac{1}{3}$ becomes, after substituting $x = \frac{1}{2} + x'$ and $y = \frac{1}{3} + y',$ a copy of $T$ with coordinate sum $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6},$ i.e. a triangle similar to $T$ with ratio $\frac{1}{6}$ and area $\left(\frac{1}{6}\right)^2$ of $T.$ Likewise the pairs $\{x, z\}$ and $\{y, z\}$ give similar triangles with ratios $\frac{1}{3}$ and $\frac{1}{2}.$

The ratio of areas is $\begin{aligned} &\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 4 + 9}{36} \\ &= \frac{7}{18}, \end{aligned}$ so $m + n = 7 + 18 = 25.$

1999 AIME 第 8 题

答案：25

难度评级：2450

小提示：

大提示：

解答：

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