Question

令 $S$ 为 $1000000$ 的所有真因数以 $10$ 为底的对数之和。最接近 $S$ 的整数是多少？

Let $S$ be the sum of the base $10$ logarithms of all the proper divisors of $1000000.$ What is the integer nearest to $S?$

答案

答案：141

知识点：因数个数对数质因数分解

难度评级：1950

小提示：

分解 $1000000$ 的质因数，并计算其所有正因数的个数

Factor $1000000$ and count all of its positive divisors

大提示：

将每个因数 $d$ 与其互补因数 $\frac{1000000}{d}$ 配对

Pair every divisor $d$ with its complementary divisor $\frac{1000000}{d}$

解答：

令 $N=1000000=2^6 5^6$ 。它有 $(6+1)(6+1)=49$ 个正因数。所有正因数的乘积为 $N^{\frac{49}{2}}$ ，因而它们以 $10$ 为底的对数之和为 $\frac{49}{2}\log_{10}N=\frac{49}{2}\cdot6=147\text{。}$ 真因数包括 $1$ ，但不包括 $N$ 本身。减去 $\log_{10}N=6$ 得 $S=141$ ，它已经是整数。

Let $N=1000000=2^6 5^6.$ It has $(6+1)(6+1)=49$ positive divisors. The product of all of them is $N^{\frac{49}{2}},$ so the sum of their base- $10$ logarithms is $\frac{49}{2}\log_{10}N=\frac{49}{2}\cdot6=147.$ The proper divisors include $1$ but exclude $N$ itself. Subtracting $\log_{10}N=6$ gives $S=141,$ already an integer.

1986 AIME 第 8 题

答案：141

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题