1986 AIME 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

方程 $\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}$ 的所有解之和是多少？

What is the sum of the solutions to the equation $\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}?$

答案

知识点：二次方程根式换元法

难度评级：1660

小提示：

代入 $t=\sqrt[4]{x}$

Substitute $t=\sqrt[4]{x}$

大提示：

消去分母后，将所得关于 $t$ 的二次式分解因式

After clearing the denominator, factor the resulting quadratic in $t$

解答：

令 $t=\sqrt[4]{x}$ ，则 $t\geq0$ 。方程化为 $t(7-t)=12\text{，}$ 即 $t^2-7t+12=0$ 。所以 $t=3$ 或 $t=4$ ，且两个值在原方程中都成立。因此 $x=3^4=81$ 或 $x=4^4=256$ ，两者之和为 $81+256=337$ 。

Let $t=\sqrt[4]{x},$ so $t\geq0.$ The equation becomes $t(7-t)=12,$ or $t^2-7t+12=0.$ Thus $t=3$ or $t=4,$ and both values are valid in the original equation. Hence $x=3^4=81$ or $x=4^4=256,$ and their sum is $81+256=337.$

2.

计算乘积 $\begin{gathered} (\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5+\sqrt6-\sqrt7) \end{gathered}\text{。}$

Evaluate the product $\begin{gathered} (\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5+\sqrt6-\sqrt7). \end{gathered}$

答案

知识点：代数变形平方差根式

难度评级：1890

小提示：

将因式配对，使每一对都可用平方差化简

Pair factors so that each pair is a difference of squares

大提示：

第一次配对后，剩余的根式只会以 $\sqrt{42}$ 的形式出现

After the first pairing, the remaining radicals occur only through $\sqrt{42}$

解答：

先将前两个因式配对，再将后两个配对： $\begin{gathered} (\sqrt6+\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2\\ {}=8+2\sqrt{42},\\ (\sqrt5)^2-(\sqrt7-\sqrt6)^2\\ {}=-8+2\sqrt{42} \end{gathered}\text{。}$ 因此所求乘积为 $\begin{aligned} &(8+2\sqrt{42})(-8+2\sqrt{42})\\ &\qquad=168-64=104 \end{aligned}\text{。}$

Pair the first two factors, then the last two: $\begin{gathered} (\sqrt6+\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2\\ {}=8+2\sqrt{42},\\ (\sqrt5)^2-(\sqrt7-\sqrt6)^2\\ {}=-8+2\sqrt{42}. \end{gathered}$ Therefore the requested product is $\begin{aligned} &(8+2\sqrt{42})(-8+2\sqrt{42})\\ &\qquad=168-64=104. \end{aligned}$

3.

若 $\tan x+\tan y=25$ ，且 $\cot x+\cot y=30$ ，求 $\tan(x+y)$ 。

If $\tan x+\tan y=25$ and $\cot x+\cot y=30,$ what is $\tan(x+y)?$

答案

知识点：代数变形三角恒等式

难度评级：1700

小提示：

用 $\tan x$ 和 $\tan y$ 表示两个余切之和

Express the sum of the cotangents using $\tan x$ and $\tan y$

大提示：

求出 $\tan x\tan y$ 后，使用正切和角公式

Use the tangent addition formula after finding $\tan x\tan y$

解答：

由于 $\cot x+\cot y =\frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y}\text{，}$ 已知方程给出 $\tan x\tan y=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$ 。因此 $\begin{aligned} \tan(x+y) &=\frac{\tan x+\tan y} {1-\tan x\tan y}\\ &=\frac{25}{1-\frac56}\\ &=150 \end{aligned}\text{。}$

Since $\cot x+\cot y =\frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y},$ the given equations yield $\tan x\tan y=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}.$ Therefore $\begin{aligned} \tan(x+y) &=\frac{\tan x+\tan y} {1-\tan x\tan y}\\ &=\frac{25}{1-\frac56}\\ &=150. \end{aligned}$

4.

求 $3x_4+2x_5$ ，其中 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $x_3$ 、 $x_4$ 和 $x_5$ 满足方程组 $\begin{aligned} 2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=6,\\ x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5&=12,\\ x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=24,\\ x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5&=48,\\ x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5&=96 \end{aligned}$

Determine $3x_4+2x_5$ if $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ and $x_5$ satisfy the system $\begin{aligned} 2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=6,\\ x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5&=12,\\ x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=24,\\ x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5&=48,\\ x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5&=96. \end{aligned}$

答案

知识点：代数变形方程组

难度评级：1760

小提示：

令 $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$

Let $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$

大提示：

每个方程都形如 $S+x_i=$ 一个常数

Each equation has the form $S+x_i=$ a constant

解答：

令 $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$ 。五个方程表明， $S+x_i$ 依次等于 $6$ 、 $12$ 、 $24$ 、 $48$ 、 $96$ 。将五式相加，得 $\begin{aligned} 6S&=6+12+24+48+96\\ &=186 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $S=31$ 。因而 $x_4=48-31=17$ ，且 $x_5=96-31=65$ 。所求值为 $3(17)+2(65)=181$ 。

Put $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5.$ The five equations say that $S+x_i$ equals $6,$ $12,$ $24,$ $48,$ $96,$ respectively. Adding them gives $\begin{aligned} 6S&=6+12+24+48+96\\ &=186, \end{aligned}$ so $S=31.$ Hence $x_4=48-31=17$ and $x_5=96-31=65.$ The requested value is $3(17)+2(65)=181.$

5.

使 $n^3+100$ 能被 $n+10$ 整除的最大正整数 $n$ 是多少？

What is the largest positive integer $n$ for which $n^3+100$ is divisible by $n+10?$

答案

知识点：整除性模运算多项式

难度评级：1840

小提示：

对 $n^3+100$ 模 $n+10$ 化简

Reduce $n^3+100$ modulo $n+10$

大提示：

该条件使 $n+10$ 成为某个固定整数的正因数

The condition makes $n+10$ a positive divisor of a fixed integer

解答：

模 $n+10$ ，有 $n\equiv-10$ 。因此 $\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10} \end{gathered}\text{。}$ 所以该条件等价于 $900$ 能被 $n+10$ 整除。由于 $n$ 为正整数， $n+10$ 是 $900$ 的正因数，其最大可能值为 $900$ 。因而 $n=900-10=890$ 。

Modulo $n+10,$ we have $n\equiv-10.$ Thus $\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10}. \end{gathered}$ The condition is therefore equivalent to $900$ being divisible by $n+10.$ Since $n$ is positive, $n+10$ is a positive divisor of $900,$ and its largest possible value is $900.$ This gives $n=900-10=890.$

6.

一本书的页码从 $1$ 编到 $n$ 。将所有页码相加时，误将其中一个页码加了两次，得到错误的和 $1986$ 。被重复相加的页码是多少？

The pages of a book are numbered $1$ through $n.$ When the page numbers of the book were added, one of the page numbers was mistakenly added twice, resulting in an incorrect sum of $1986.$ What was the number of the page that was added twice?

答案

知识点：极限情形界定三角形数

难度评级：1490

小提示：

将 $1986$ 与相邻的三角数比较

Compare $1986$ with consecutive triangular numbers

大提示：

超出 $1+2+\cdots+n$ 的部分就是被重复计算的页码

The excess over $1+2+\cdots+n$ is the repeated page number

解答：

$1986$ 附近的相邻三角数为 $\begin{aligned} \frac{62\cdot63}{2}&=1953,\\ \frac{63\cdot64}{2}&=2016 \end{aligned}\text{。}$ 因此这本书有 $62$ 页，多加的一项为 $1986-1953=33$ ，它确实是一个有效页码。

Consecutive triangular numbers around $1986$ are $\begin{aligned} \frac{62\cdot63}{2}&=1953,\\ \frac{63\cdot64}{2}&=2016. \end{aligned}$ Hence the book has $62$ pages, and the extra summand is $1986-1953=33,$ which is indeed a valid page number.

7.

递增数列 $1$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $9$ 、 $10$ 、 $12$ 、 $13$ 、 $\ldots$ 由所有为 $3$ 的幂或若干不同的 $3$ 的幂之和的正整数组成。求该数列的第 $100$ 项。

The increasing sequence $1,$ $3,$ $4,$ $9,$ $10,$ $12,$ $13,$ $\ldots$ consists of all those positive integers which are powers of $3$ or sums of distinct powers of $3.$ Find the $100$ th term of this sequence.

答案

知识点：进制位值

难度评级：1970

小提示：

这些数恰好是在 $3$ 进制中每一位都为 $0$ 或 $1$ 的数

These are precisely the numbers whose base- $3$ digits are all $0$ or $1$

大提示：

将项数写成 $2$ 进制，再把相同数字串按 $3$ 进制解释

Write the index in base $2,$ then reinterpret those same digits in base $3$

解答：

不同的 $3$ 的幂之和在 $3$ 进制中只含数字 $0$ 和 $1$ 。随着这些数字串增大，它们的顺序与使用相同数字串的二进制数顺序一致。由于 $100=1100100_2\text{，}$ 第 $100$ 个正整数项为 $\begin{aligned} 1100100_3 &=3^6+3^5+3^2\\ &=729+243+9\\ &=981 \end{aligned}\text{。}$

A sum of distinct powers of $3$ has only $0$ ’s and $1$ ’s in base $3.$ As these strings increase, they occur in the same order as binary numerals with the same digit strings. Since $100=1100100_2,$ the $100$ th positive term is $\begin{aligned} 1100100_3 &=3^6+3^5+3^2\\ &=729+243+9\\ &=981. \end{aligned}$

8.

令 $S$ 为 $1000000$ 的所有真因数以 $10$ 为底的对数之和。最接近 $S$ 的整数是多少？

Let $S$ be the sum of the base $10$ logarithms of all the proper divisors of $1000000.$ What is the integer nearest to $S?$

答案

知识点：因数个数对数质因数分解

难度评级：1950

小提示：

分解 $1000000$ 的质因数，并计算其所有正因数的个数

Factor $1000000$ and count all of its positive divisors

大提示：

将每个因数 $d$ 与其互补因数 $\frac{1000000}{d}$ 配对

Pair every divisor $d$ with its complementary divisor $\frac{1000000}{d}$

解答：

令 $N=1000000=2^6 5^6$ 。它有 $(6+1)(6+1)=49$ 个正因数。所有正因数的乘积为 $N^{\frac{49}{2}}$ ，因而它们以 $10$ 为底的对数之和为 $\frac{49}{2}\log_{10}N=\frac{49}{2}\cdot6=147\text{。}$ 真因数包括 $1$ ，但不包括 $N$ 本身。减去 $\log_{10}N=6$ 得 $S=141$ ，它已经是整数。

Let $N=1000000=2^6 5^6.$ It has $(6+1)(6+1)=49$ positive divisors. The product of all of them is $N^{\frac{49}{2}},$ so the sum of their base- $10$ logarithms is $\frac{49}{2}\log_{10}N=\frac{49}{2}\cdot6=147.$ The proper divisors include $1$ but exclude $N$ itself. Subtracting $\log_{10}N=6$ gives $S=141,$ already an integer.

9.

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=425$ 、 $BC=450$ ，且 $AC=510$ 。取内部一点 $P$ ，并过 $P$ 作分别平行于三角形三边的线段。若这三条线段的长度都等于 $d$ ，求 $d$ 。

In $\triangle ABC,$ $AB=425,$ $BC=450,$ and $AC=510.$ An interior point $P$ is drawn, and segments are drawn through $P$ parallel to the sides of the triangle. If these three segments have equal length $d,$ find $d.$

答案

知识点：代数变形面积比相似

难度评级：2350

小提示：

将 $P$ 到三条边的垂直距离分别用对应高归一化

Normalize the perpendicular distances from $P$ to the three sides

大提示：

平行于一条边的截线长度等于该边长乘以一减去对应的归一化距离

A cross-section parallel to a side has length equal to that side times one minus the corresponding normalized distance

解答：

令 $a=BC=450$ 、 $b=CA=510$ ，且 $c=AB=425$ 。令 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 分别为 $P$ 到 $BC$ 、 $CA$ 和 $AB$ 的距离与对应高的比值。由面积分解可得 $x+y+z=1$ 。

由相似三角形，过 $P$ 且平行于 $BC$ 的线段长为 $a(1-x)$ ，同理另外两条线段的长度分别为 $b(1-y)$ 和 $c(1-z)$ 。三者都等于 $d$ ，所以 $\begin{aligned} x&=1-\frac da,\\ y&=1-\frac db,\\ z&=1-\frac dc \end{aligned}\text{。}$ 三者之和为 $1$ ，因而 $d=\frac{2abc}{ab+bc+ca}\text{。}$ 代入三条边长，得 $\begin{aligned} d&=\frac{195075000}{637500}\\ &=306 \end{aligned}\text{。}$

Write $a=BC=450,$ $b=CA=510,$ and $c=AB=425.$ Let $x,$ $y,$ and $z$ be the distances from $P$ to $BC,$ $CA,$ and $AB,$ respectively, each divided by the corresponding altitude. Area decomposition gives $x+y+z=1.$

By similar triangles, the segment through $P$ parallel to $BC$ has length $a(1-x),$ and similarly the other two lengths are $b(1-y)$ and $c(1-z).$ Since all three equal $d,$ $\begin{aligned} x&=1-\frac da,\\ y&=1-\frac db,\\ z&=1-\frac dc. \end{aligned}$ Their sum is $1,$ so $d=\frac{2abc}{ab+bc+ca}.$ Substituting the three side lengths gives $\begin{aligned} d&=\frac{195075000}{637500}\\ &=306. \end{aligned}$

10.

在一个室内游戏中，魔术师请一名参与者想一个三位数 $(abc)$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 按所示顺序表示以 $10$ 为底的数字。随后，魔术师请这名参与者组成 $(acb)$ 、 $(bca)$ 、 $(bac)$ 、 $(cab)$ 和 $(cba)$ ，将这五个数相加，并说出它们的和 $N$ 。得知 $N$ 后，魔术师就能确定原数 $(abc)$ 。请扮演魔术师，在 $N=3194$ 时求 $(abc)$ 。

In a parlor game, the magician asks one of the participants to think of a three-digit number $(abc),$ where $a,$ $b,$ and $c$ represent base- $10$ digits in the indicated order. The magician then asks this person to form the numbers $(acb),$ $(bca),$ $(bac),$ $(cab),$ and $(cba),$ to add these five numbers, and to reveal their sum $N.$ If told $N,$ the magician can identify the original number $(abc).$ Play the role of the magician and determine $(abc)$ if $N=3194.$

答案

知识点：数字位值方程组

难度评级：1830

小提示：

先把原数也包括在内，求六个排列数之和

First include the original number and sum all six permutations

大提示：

若 $s=a+b+c$ ，用 $s$ 和 $N$ 表示原数

If $s=a+b+c,$ express the original number in terms of $s$ and $N$

解答：

在六个排列数中，每个数字在每个数位上都出现两次，所以它们的总和为 $222(a+b+c)$ 。令 $s=a+b+c$ ，并将原数记为 $M$ 。由于其余五个数之和为 $3194$ ， $M=222s-3194\text{。}$ 因为 $100\leq M\leq999$ ，必须有 $15\leq s\leq18$ 。依次检验这四个值，得到 $M=136$ 、 $M=358$ 、 $M=580$ 和 $M=802$ 。其中只有 $358$ 的数字和等于假设值，即 $16$ 。因此原数为 $358$ 。

Across all six permutations, each digit occurs twice in each place, so their total is $222(a+b+c).$ Put $s=a+b+c$ and let the original number be $M.$ Since the other five sum to $3194,$ $M=222s-3194.$ Because $100\leq M\leq999,$ we need $15\leq s\leq18.$ Testing these four values gives $M=136,$ $M=358,$ $M=580,$ and $M=802,$ respectively. Only $358$ has digit sum equal to its assumed value, namely $16.$ Therefore the original number is $358.$

11.

多项式 $1-x+x^2-x^3+\cdots$ ${}+x^{16}-x^{17}$ 可写成 $\begin{aligned} &a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17} \end{aligned}\text{，}$ 其中 $y=x+1$ ，且各 $a_i$ 为常数。求 $a_2$ 。

The polynomial $1-x+x^2-x^3+\cdots$ ${}+x^{16}-x^{17}$ may be written in the form $\begin{aligned} &a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17}, \end{aligned}$ where $y=x+1$ and the $a_i$ ’s are constants. Find $a_2.$

答案

知识点：二项式定理组合多项式

难度评级：2300

小提示：

展开前先代入 $x=y-1$

Substitute $x=y-1$ before expanding

大提示：

只求各次幂中 $y^2$ 的系数，并使用曲棍球杆恒等式

Find only the coefficient of $y^2$ in each power and use the hockey-stick identity

解答：

该多项式为 $\sum_{k=0}^{17}(-x)^k$ 。由于 $x=y-1$ ，它化为 $\sum_{k=0}^{17}(1-y)^k\text{。}$ 当 $k\geq2$ 时， $(1-y)^k$ 中 $y^2$ 的系数为 $\binom{k}{2}$ 。因此 $a_2=\sum_{k=2}^{17}\binom{k}{2} =\binom{18}{3}=816\text{。}$

The polynomial is $\sum_{k=0}^{17}(-x)^k.$ Since $x=y-1,$ this becomes $\sum_{k=0}^{17}(1-y)^k.$ For $k\geq2,$ the coefficient of $y^2$ in $(1-y)^k$ is $\binom{k}{2}.$ Hence $a_2=\sum_{k=2}^{17}\binom{k}{2} =\binom{18}{3}=816.$

12.

定义一组数的和为其中所有元素之和。设 $S$ 是一个正整数集合，其中每个数都不大于 $15$ 。假设 $S$ 中任意两个不相交的子集都没有相同的和。具有这些性质的集合 $S$ 的最大可能元素和是多少？

Let the sum of a set of numbers be the sum of its elements. Let $S$ be a set of positive integers, none greater than $15.$ Suppose no two disjoint subsets of $S$ have the same sum. What is the largest sum a set $S$ with these properties can have?

答案

知识点：极端原理平均数子集

难度评级：3270

小提示：

若 $S$ 有六个元素，将其 $64$ 个子集和的方差与 $64$ 个连续整数的方差比较

If $S$ had six elements, compare the variance of its $64$ subset sums with that of $64$ consecutive integers

大提示：

限定 $S$ 的大小后，检查元素和超过候选值的五元子集

After bounding the size of $S,$ inspect the five-element subsets whose sums exceed the candidate

解答：

首先， $S$ 至多有五个元素。若它有六个元素 $s_1,\ldots,s_6$ ，则其 $64$ 个子集和必须全都不同：如果两个子集和相等，消去它们的公共元素后，就会违反题设条件。

等概率随机选取一个子集，并令 $X$ 为其元素和。则 $\begin{gathered} \operatorname{Var}(X) =\frac14\sum_{i=1}^6s_i^2\\ {}\leq\frac14(10^2+11^2+\cdots+15^2)\\ {}=\frac{955}{4} \end{gathered}\text{。}$ 另一方面， $X$ 等概率取 $64$ 个不同的整数。 $64$ 个不同整数在它们连续时方差最小，该方差为 $\frac{64^2-1}{12}=\frac{1365}{4}\text{，}$ 矛盾。

至多含四个元素的集合，其元素和至多为 $12+13+14+15=54$ 。 $\{1,\ldots,15\}$ 中元素和至少为 $62$ 的五元子集只有七个。以下相等的和说明它们都不符合条件：

$\{8,12,13,14,15\}$ ： $13+14=12+15$ 。 $\{9,11,13,14,15\}$ ： $11+13=9+15$ 。 $\{9,12,13,14,15\}$ ： $13+14=12+15$ 。

$\{10,11,12,14,15\}$ ： $11+14=10+15$ 。 $\{10,11,13,14,15\}$ ： $11+13=10+14$ 。

$\{10,12,13,14,15\}$ ： $12+13=10+15$ 。 $\{11,12,13,14,15\}$ ： $12+13=11+14$ 。

因此答案至多为 $61$ 。

集合 $\{8,11,13,14,15\}$ 可达到 $61$ 。它的 $32$ 个子集和依次为 $\begin{gathered} 0,8,11,13,14,15,19,21,\\ 22,23,24,25,26,27,28,29,\\ 32,33,34,35,36,37,38,39,\\ 40,42,46,47,48,50,53,61 \end{gathered}\text{，}$ 且全都不同。如果任意两个子集的和相等，删除它们的交集后，就会得到两个不相交且和相等的子集，因此这验证了所需性质。

First, $S$ has at most five elements. If it had six elements $s_1,\ldots,s_6,$ then its $64$ subset sums would all be distinct: equality between two subset sums, after cancelling their common elements, would violate the given condition.

Choose a subset uniformly at random and let $X$ be its sum. Then $\begin{gathered} \operatorname{Var}(X) =\frac14\sum_{i=1}^6s_i^2\\ {}\leq\frac14(10^2+11^2+\cdots+15^2)\\ {}=\frac{955}{4}. \end{gathered}$ On the other hand, $X$ is uniform on $64$ distinct integers. The least possible variance for $64$ distinct integers occurs when they are consecutive, and is $\frac{64^2-1}{12}=\frac{1365}{4},$ a contradiction.

A set with at most four elements has sum at most $12+13+14+15=54.$ There are only seven five-element subsets of $\{1,\ldots,15\}$ whose sums are at least $62.$ Each fails, as witnessed by the following equal sums:

$\{8,12,13,14,15\}:$ $13+14=12+15.$ $\{9,11,13,14,15\}:$ $11+13=9+15.$ $\{9,12,13,14,15\}:$ $13+14=12+15.$

$\{10,11,12,14,15\}:$ $11+14=10+15.$ $\{10,11,13,14,15\}:$ $11+13=10+14.$

$\{10,12,13,14,15\}:$ $12+13=10+15.$ $\{11,12,13,14,15\}:$ $12+13=11+14.$

Thus the answer is at most $61.$

The set $\{8,11,13,14,15\}$ attains $61.$ Its $32$ subset sums, in order, are $\begin{gathered} 0,8,11,13,14,15,19,21,\\ 22,23,24,25,26,27,28,29,\\ 32,33,34,35,36,37,38,39,\\ 40,42,46,47,48,50,53,61, \end{gathered}$ all distinct. Equal sums from arbitrary subsets would, after deleting their intersection, give equal sums from disjoint subsets, so this verifies the required property.

13.

在一串抛硬币结果中，可以记录反面之后紧接正面、正面之后紧接正面等相邻情形，并分别记为 $\mathrm{TH}$ 、 $\mathrm{HH}$ 等。例如，在 $15$ 次抛硬币所得的序列 $\mathrm{HHTTHHHHTHHTTTT}$ 中，有两个 $\mathrm{HH}$ 、三个 $\mathrm{HT}$ 、四个 $\mathrm{TH}$ 和五个 $\mathrm{TT}$ 子序列。有多少个不同的 $15$ 次抛硬币序列恰好包含两个 $\mathrm{HH}$ 、三个 $\mathrm{HT}$ 、四个 $\mathrm{TH}$ 和五个 $\mathrm{TT}$ 子序列？

In a sequence of coin tosses, one can keep a record of instances in which a tail is immediately followed by a head, a head is immediately followed by a head, and so on. We denote these by $\mathrm{TH},$ $\mathrm{HH},$ and so on. For example, in the sequence $\mathrm{HHTTHHHHTHHTTTT}$ of $15$ coin tosses, there are two $\mathrm{HH},$ three $\mathrm{HT},$ four $\mathrm{TH},$ and five $\mathrm{TT}$ subsequences. How many different sequences of $15$ coin tosses contain exactly two $\mathrm{HH},$ three $\mathrm{HT},$ four $\mathrm{TH},$ and five $\mathrm{TT}$ subsequences?

答案

知识点：有限制的排列乘法原理隔板法

难度评级：2350

小提示：

比较 $\mathrm{HT}$ 与 $\mathrm{TH}$ 转换的次数，以确定第一次和最后一次抛掷的结果

Compare the numbers of $\mathrm{HT}$ and $\mathrm{TH}$ transitions to determine the first and last tosses

大提示：

将 $\mathrm{HH}$ 与 $\mathrm{TT}$ 的次数转化为交替连续段的总长度分配

Translate the $\mathrm{HH}$ and $\mathrm{TT}$ counts into totals distributed among alternating runs

解答：

由于有四次 $\mathrm{TH}$ 转换和三次 $\mathrm{HT}$ 转换，每个有效序列都以 $\mathrm{T}$ 开始、以 $\mathrm{H}$ 结束。因此它有四个 $\mathrm{T}$ 连续段和四个 $\mathrm{H}$ 连续段，并且两类连续段交替出现。

若所有 $\mathrm{H}$ 连续段的总长度为 $h$ ，则 $\mathrm{HH}$ 转换的次数为 $h-4$ 。因而 $h=6$ ，四个 $\mathrm{H}$ 连续段的正整数长度有 $\binom{6-1}{4-1}=\binom53=10$ 种选法。同理，五次 $\mathrm{TT}$ 转换意味着四个 $\mathrm{T}$ 连续段的总长度为 $9$ ，因而有 $\binom{9-1}{4-1}=\binom83=56$ 种选法。交替顺序已经固定，所以序列总数为 $10\cdot56=560$ 。

Since there are four $\mathrm{TH}$ transitions and three $\mathrm{HT}$ transitions, every valid sequence starts with $\mathrm{T}$ and ends with $\mathrm{H}.$ It therefore has four $\mathrm{T}$ -runs and four $\mathrm{H}$ -runs, alternating.

If the $\mathrm{H}$ -runs have total length $h,$ then the number of $\mathrm{HH}$ transitions is $h-4.$ Thus $h=6,$ and the positive lengths of the four $\mathrm{H}$ -runs can be chosen in $\binom{6-1}{4-1}=\binom53=10$ ways. Similarly, five $\mathrm{TT}$ transitions mean that the four $\mathrm{T}$ -runs have total length $9,$ giving $\binom{9-1}{4-1}=\binom83=56$ choices. The alternating order is fixed, so the number of sequences is $10\cdot56=560.$

14.

长方体 $P$ 的一条体对角线与各条不相交的棱之间的最短距离分别为 $2\sqrt5$ 、 $\frac{30}{\sqrt{13}}$ 和 $\frac{15}{\sqrt{10}}$ 。求 $P$ 的体积。

The shortest distances between an interior diagonal of a rectangular parallelepiped $P$ and the edges it does not meet are $2\sqrt5,$ $\frac{30}{\sqrt{13}},$ and $\frac{15}{\sqrt{10}}.$ Determine the volume of $P.$

答案

知识点：长方体方程组向量

难度评级：3060

小提示：

设三条棱长为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，并使用异面直线间距离的向量公式

Let the side lengths be $a,$ $b,$ and $c$ and use a vector formula for the distance between skew lines

大提示：

对各距离的平方取倒数，可使方程关于 $\frac{1}{a^2}$ 、 $\frac{1}{b^2}$ 和 $\frac{1}{c^2}$ 成为线性方程

Taking reciprocals of the squared distances makes the equations linear in $\frac{1}{a^2},$ $\frac{1}{b^2},$ and $\frac{1}{c^2}$

解答：

设三条棱长为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 。例如，方向为 $(a,b,c)$ 的体对角线到一条与其不相交且平行于 $a$ 方向的棱的距离为 $\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\text{。}$ 另外两个距离可由循环置换得到。我们可以依题中次序将三个已知距离分别对应到这三个方向，因为改变对应关系只会置换三条棱长。

令 $X=\frac{1}{a^2}$ 、 $Y=\frac{1}{b^2}$ ，且 $Z=\frac{1}{c^2}$ 。对各距离的平方取倒数，得到 $\begin{aligned} Y+Z&=\frac1{20},\\ X+Z&=\frac{13}{900},\\ X+Y&=\frac2{45} \end{aligned}\text{。}$ 解得 $\begin{aligned} X&=\frac1{225},\\ Y&=\frac1{25},\\ Z&=\frac1{100} \end{aligned}\text{。}$ 因此三条棱长为 $15$ 、 $5$ 、 $10$ ，体积为 $15\cdot5\cdot10=750$ 。

Let the side lengths be $a,$ $b,$ and $c.$ For example, the distance from the space diagonal with direction $(a,b,c)$ to a nonintersecting edge parallel to the $a$ -direction is $\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}.$ The other two distances are obtained cyclically. We may assign the three given distances to these three directions in the listed order, since permuting them only permutes the side lengths.

Put $X=\frac{1}{a^2},$ $Y=\frac{1}{b^2},$ and $Z=\frac{1}{c^2}.$ Taking reciprocal squares gives $\begin{aligned} Y+Z&=\frac1{20},\\ X+Z&=\frac{13}{900},\\ X+Y&=\frac2{45}. \end{aligned}$ Solving, $\begin{aligned} X&=\frac1{225},\\ Y&=\frac1{25},\\ Z&=\frac1{100}. \end{aligned}$ Hence the side lengths are $15,$ $5,$ $10,$ and the volume is $15\cdot5\cdot10=750.$

15.

设三角形 $ABC$ 是 $xy$ 平面内以 $C$ 为直角顶点的直角三角形。已知斜边 $AB$ 的长度为 $60$ ，且经过 $A$ 与 $B$ 的中线分别位于直线 $y=x+3$ 与 $y=2x+4$ 上，求 $\triangle ABC$ 的面积。

Let triangle $ABC$ be a right triangle in the $xy$ -plane with a right angle at $C.$ Given that the hypotenuse $AB$ has length $60,$ and that the medians through $A$ and $B$ lie along the lines $y=x+3$ and $y=2x+4,$ respectively, find the area of $\triangle ABC.$

答案

知识点：重心坐标几何中线（几何）三角形面积

难度评级：2820

小提示：

两条中线所在直线的交点就是重心

The intersection of the two median lines is the centroid

大提示：

从重心出发，沿方向向量 $(1,1)$ 与 $(1,2)$ 分别参数化 $A$ 与 $B$

Parametrize $A$ and $B$ from the centroid along direction vectors $(1,1)$ and $(1,2)$

解答：

两条中线所在直线相交于重心 $G=(-1,2)$ 。对实数 $u$ 和 $v$ ，令 $\begin{aligned} A&=G+(u,u),\\ B&=G+(v,2v) \end{aligned}\text{。}$ 因为 $A+B+C=3G$ ，所以 $C=G-(u,u)-(v,2v)\text{。}$ 条件 $AC\perp BC$ 给出 $\begin{aligned} &(2u+v,2u+2v)\\ &\qquad\mathbin{\cdot}(u+2v,u+4v)=0 \end{aligned}\text{，}$ 即 $4u^2+15uv+10v^2=0\text{。}$ 同时，由 $AB=60$ 得 $\begin{aligned} &(u-v)^2+(u-2v)^2\\ &\qquad=2u^2-6uv+5v^2\\ &\qquad=3600 \end{aligned}\text{。}$ 用第二个方程减去第一个方程的一半，得到 $-\frac{27}{2}uv=3600$ ，所以 $uv=-\frac{800}{3}$ 。

利用从 $C$ 引出的两条互相垂直的直角边，面积等于相应行列式绝对值的一半： $\begin{aligned} [ABC] &=\frac12\left| \det\begin{pmatrix}2u+v&2u+2v\\u+2v&u+4v\end{pmatrix} \right|\\ &=\frac12|3uv| =400 \end{aligned}\text{。}$

The median lines meet at the centroid $G=(-1,2).$ For real $u$ and $v,$ write $\begin{aligned} A&=G+(u,u),\\ B&=G+(v,2v). \end{aligned}$ Since $A+B+C=3G,$ $C=G-(u,u)-(v,2v).$ The condition $AC\perp BC$ gives $\begin{aligned} &(2u+v,2u+2v)\\ &\qquad\mathbin{\cdot}(u+2v,u+4v)=0, \end{aligned}$ or $4u^2+15uv+10v^2=0.$ Meanwhile $AB=60$ gives $\begin{aligned} &(u-v)^2+(u-2v)^2\\ &\qquad=2u^2-6uv+5v^2\\ &\qquad=3600. \end{aligned}$ Subtracting half of the first equation from the second yields $-\frac{27}{2}uv=3600,$ so $uv=-\frac{800}{3}.$

Using the two perpendicular legs from $C,$ the area is half the absolute determinant: $\begin{aligned} [ABC] &=\frac12\left| \det\begin{pmatrix}2u+v&2u+2v\\u+2v&u+4v\end{pmatrix} \right|\\ &=\frac12|3uv| =400. \end{aligned}$