Question

递增数列 $1$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $9$ 、 $10$ 、 $12$ 、 $13$ 、 $\ldots$ 由所有为 $3$ 的幂或若干不同的 $3$ 的幂之和的正整数组成。求该数列的第 $100$ 项。

The increasing sequence $1,$ $3,$ $4,$ $9,$ $10,$ $12,$ $13,$ $\ldots$ consists of all those positive integers which are powers of $3$ or sums of distinct powers of $3.$ Find the $100$ th term of this sequence.

答案

答案：981

知识点：进制位值

难度评级：1970

小提示：

这些数恰好是在 $3$ 进制中每一位都为 $0$ 或 $1$ 的数

These are precisely the numbers whose base- $3$ digits are all $0$ or $1$

大提示：

将项数写成 $2$ 进制，再把相同数字串按 $3$ 进制解释

Write the index in base $2,$ then reinterpret those same digits in base $3$

解答：

不同的 $3$ 的幂之和在 $3$ 进制中只含数字 $0$ 和 $1$ 。随着这些数字串增大，它们的顺序与使用相同数字串的二进制数顺序一致。由于 $100=1100100_2\text{，}$ 第 $100$ 个正整数项为 $\begin{aligned} 1100100_3 &=3^6+3^5+3^2\\ &=729+243+9\\ &=981 \end{aligned}\text{。}$

A sum of distinct powers of $3$ has only $0$ ’s and $1$ ’s in base $3.$ As these strings increase, they occur in the same order as binary numerals with the same digit strings. Since $100=1100100_2,$ the $100$ th positive term is $\begin{aligned} 1100100_3 &=3^6+3^5+3^2\\ &=729+243+9\\ &=981. \end{aligned}$

1986 AIME 第 7 题

答案：981

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题