Question

对整数 $a$ 和 $b$ ，考虑复数 $\frac{\sqrt{ab + 2016}}{ab + 100} - \left(\frac{\sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\right)i\text{。}$ 求有多少个有序整数对 $(a, b)$ ，使得这个复数是实数。

For integers $a$ and $b$ consider the complex number $\frac{\sqrt{ab + 2016}}{ab + 100} - \left(\frac{\sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\right)i.$ Find the number of ordered pairs of integers $(a, b)$ such that this complex number is a real number.

答案

答案：103

知识点：复数西蒙最爱的因式分解技巧分类讨论

难度评级：2920

小提示：

若 $ab + 2016 \ge 0$ ，这个数为实数当且仅当 $b = -a$ ；注意 $a$ 的取值范围和分母

If $ab + 2016 \ge 0,$ the number is real exactly when $b = -a;$ watch the range of $a$ and the denominator

大提示：

若 $ab + 2016 \lt 0$ ，两项都是虚数且必须相互抵消： $-ab - 2016 = |a + b|$ 。分解为 $(a \pm 1)(b \pm 1) = -2015$ 。

If $ab + 2016 \lt 0,$ both terms are imaginary and must cancel: $-ab - 2016 = |a + b|.$ Factor as $(a \pm 1)(b \pm 1) = -2015.$

解答：

若 $ab + 2016 \ge 0$ ，第一项为实数，所以整个数为实数当且仅当 $\sqrt{|a + b|} = 0$ ，也就是 $b = -a$ 。此时 $ab + 2016 = 2016 - a^2 \ge 0$ ，迫使 $|a| \le 44$ ，并且分母 $ab + 100 = 100 - a^2$ 排除 $a = \pm 10$ 。这给出 $89 - 2 = 87$ 个数对。

若 $ab + 2016 \lt 0$ ，则 $\sqrt{ab + 2016} = i\sqrt{-ab - 2016}$ ，所以整个数为 $\frac{\sqrt{-ab - 2016} - \sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\,i$ ，它为实数当且仅当 $-ab - 2016 = |a + b|$ 。注意 $a + b = 0$ 在这里不可能，因为 $a^2 = 2016$ 没有整数解。当 $a + b \gt 0$ 时，方程变成 $ab + a + b + 2016 = 0$ ，也就是 $(a + 1)(b + 1) = -2015$ ，当 $a + b \lt 0$ 时，方程变成 $(a - 1)(b - 1) = -2015$ 。

因为 $2015 = 5 \cdot 13 \cdot 31$ 有 $8$ 个正因数， $(a+1)(b+1) = -2015$ 有 $16$ 个有序整数解，并且 $a + b \gt 0$ 恰好在正因数的绝对值较大时成立：有 $8$ 个解。对称地，另一个情形也给出 $8$ 个解。在所有这些解中 $ab + 100 = -1916 - |a + b| \ne 0$ 。总数为 $87 + 8 + 8 = 103$ 。

If $ab + 2016 \ge 0,$ the first term is real, so the number is real exactly when $\sqrt{|a + b|} = 0,$ that is $b = -a.$ Then $ab + 2016 = 2016 - a^2 \ge 0$ forces $|a| \le 44,$ and the denominator $ab + 100 = 100 - a^2$ rules out $a = \pm 10.$ That gives $89 - 2 = 87$ pairs.

If $ab + 2016 \lt 0,$ then $\sqrt{ab + 2016} = i\sqrt{-ab - 2016},$ so the whole number is $\frac{\sqrt{-ab - 2016} - \sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\,i,$ which is real exactly when $-ab - 2016 = |a + b|.$ Note $a + b = 0$ is impossible here since $a^2 = 2016$ has no integer solution. For $a + b \gt 0$ the equation becomes $ab + a + b + 2016 = 0,$ that is $(a + 1)(b + 1) = -2015,$ and for $a + b \lt 0$ it becomes $(a - 1)(b - 1) = -2015.$

Since $2015 = 5 \cdot 13 \cdot 31$ has $8$ positive divisors, $(a+1)(b+1) = -2015$ has $16$ ordered integer solutions, and $a + b \gt 0$ holds exactly when the positive factor is the larger in absolute value: $8$ solutions. Symmetrically the other case gives $8$ more. In all of these $ab + 100 = -1916 - |a + b| \ne 0.$ The total is $87 + 8 + 8 = 103.$

2016 AIME I 第 7 题

答案：103

难度评级：2920

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解答：

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