Question

在 $\triangle ABC$ 中，设 $I$ 为内切圆圆心，并设 $\angle ACB$ 的角平分线与 $\overline{AB}$ 交于 $L$ 。经过 $C$ 和 $L$ 的直线与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于 $C$ 和 $D$ 两点。若 $LI = 2$ 且 $LD = 3$ ，则 $IC = \frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p + q$ 。

In $\triangle ABC$ let $I$ be the center of the inscribed circle, and let the bisector of $\angle ACB$ intersect $\overline{AB}$ at $L.$ The line through $C$ and $L$ intersects the circumscribed circle of $\triangle ABC$ at the two points $C$ and $D.$ If $LI = 2$ and $LD = 3,$ then $IC = \frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

答案

答案：13

知识点：内切圆、内心与内切圆半径导角相似

难度评级：2560

小提示：

通过追角证明 $\angle DAI = \angle DIA$ ，所以 $DA = DI = 5$

Show $\angle DAI = \angle DIA$ by angle chasing, so $DA = DI = 5$

大提示：

三角形 $DAL$ 和 $DCA$ 共有角 $D$ ，且 $\angle DAL = \angle DCA$ ，所以 $DC = \frac{DA^2}{DL}$

Triangles $DAL$ and $DCA$ share angle $D$ and have $\angle DAL = \angle DCA,$ so $DC = \frac{DA^2}{DL}$

解答：

内心 $I$ 位于角平分线 $\overline{CL}$ 上，并在 $C$ 与 $L$ 之间。在三角形 $ACI$ 中，点 $I$ 处的外角给出 $\angle DIA = \angle IAC + \angle ICA$ 。另一方面， $\angle DAB = \angle DCB$ （二者都对弧 $DB$ ），并且 $\angle DCB = \angle ICA$ （角平分线），所以 $\begin{aligned} \angle DAI &= \angle DAB \\ &\quad {}+ \angle BAI \\ &= \angle ICA + \angle IAC \\ &= \angle DIA \end{aligned}\text{。}$ 因此三角形 $DAI$ 为等腰三角形， $DA = DI = DL + LI = 5$ 。

三角形 $DAL$ 和 $DCA$ 在 $D$ 处有公共角，且 $\angle DAL = \angle DAB = \angle DCB$ $= \angle DCA$ ，所以它们相似。因此 $\frac{DA}{DC} = \frac{DL}{DA}$ ，得到 $DC = \frac{DA^2}{DL} = \frac{25}{3}$ 。

最后 $IC = DC - DI = \frac{25}{3} - 5 = \frac{10}{3}$ ，所以 $p + q = 10 + 3 = 13$ 。

The incenter $I$ lies on the bisector $\overline{CL},$ between $C$ and $L.$ In triangle $ACI,$ the exterior angle at $I$ gives $\angle DIA = \angle IAC + \angle ICA.$ On the other hand, $\angle DAB = \angle DCB$ (both subtend arc $DB$ ) and $\angle DCB = \angle ICA$ (the bisector), so $\begin{aligned} \angle DAI &= \angle DAB \\ &\quad {}+ \angle BAI \\ &= \angle ICA + \angle IAC \\ &= \angle DIA. \end{aligned}$ Hence triangle $DAI$ is isosceles with $DA = DI = DL + LI = 5.$

Triangles $DAL$ and $DCA$ have a common angle at $D,$ and $\angle DAL = \angle DAB = \angle DCB$ $= \angle DCA,$ so they are similar. Therefore $\frac{DA}{DC} = \frac{DL}{DA},$ giving $DC = \frac{DA^2}{DL} = \frac{25}{3}.$

Finally $IC = DC - DI = \frac{25}{3} - 5 = \frac{10}{3},$ so $p + q = 10 + 3 = 13.$

2016 AIME I 第 6 题

答案：13

难度评级：2560

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