Question

设实数 $r$ 满足 $\begin{aligned}&\left\lfloor r+\frac{19}{100}\right\rfloor+\left\lfloor r+\frac{20}{100}\right\rfloor\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{21}{100}\right\rfloor+\cdots\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{91}{100}\right\rfloor=546\end{aligned}\text{。}$ 求 $\lfloor100r\rfloor$ 。（对实数 $x$ ， $\lfloor x\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数。）

Suppose $r$ is a real number for which $\begin{aligned}&\left\lfloor r+\frac{19}{100}\right\rfloor+\left\lfloor r+\frac{20}{100}\right\rfloor\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{21}{100}\right\rfloor+\cdots\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{91}{100}\right\rfloor=546.\end{aligned}$ Find $\lfloor100r\rfloor.$ (For real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$ )

答案

答案：743

知识点：取整函数区间内整数计数求和

难度评级：1980

小提示：

写成 $r=n+f$ ，其中 $n$ 是整数且 $0\leq f<1$ 。

Write $r=n+f$ with integer $n$ and $0\leq f<1$

大提示：

去掉各项共同的整数部分后，数一数这 $73$ 个小数项中有多少个越过了 $1$ 。

After removing the common integer part, count how many of the $73$ fractional terms cross $1$

解答：

写成 $r=n+f$ ，其中 $n$ 是整数且 $0\leq f<1$ 。共有 $73$ 个加数。因为 $546=73\cdot7+35$ ，所以必有 $n=7$ ，并且数 $f+\frac{19}{100}$ 、 $\ldots$ 、 $f+\frac{91}{100}$ 中恰有 $35$ 个的下取整为 $1$ 。它们必然是分子为 $57$ 、 $58$ 、 $\ldots$ 、 $91$ 的那些项。因此 $f+\frac{56}{100}<1\leq f+\frac{57}{100}\text{，}$ 从而 $43\leq100f<44$ 。所以 $\lfloor100r\rfloor=700+43=743$ 。

Write $r=n+f,$ where $n$ is an integer and $0\leq f<1.$ There are $73$ summands. Since $546=73\cdot7+35,$ we must have $n=7,$ and exactly $35$ of the numbers $f+\frac{19}{100},$ $\ldots,$ $f+\frac{91}{100}$ have floor $1.$ These must be the terms with numerators $57,$ $58,$ $\ldots,$ $91.$ Hence $f+\frac{56}{100}<1\leq f+\frac{57}{100},$ so $43\leq100f<44.$ Therefore $\lfloor100r\rfloor=700+43=743.$

1991 AIME 第 6 题

答案：743

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题