Question

设 $a_n=6^n+8^n$ 。求 $a_{83}$ 除以 $49$ 的余数。

Let $a_n=6^n+8^n.$ Determine the remainder on dividing $a_{83}$ by $49.$

答案

答案：35

知识点：二项式定理模运算模幂运算

难度评级：2110

小提示：

利用等式 $6=7-1$ 和 $8=7+1$

Write $6=7-1$ and $8=7+1$

大提示：

模 $49$ 时，每个二项式展开中只有常数项和一次项不会消失

Modulo $49,$ only the constant and linear terms of each binomial expansion survive

解答：

模 $49$ 时，所有含有 $7^2$ 的二项式项都消失。由于 $83$ 为奇数， $6^{83}=(7-1)^{83}\equiv -1+83\cdot7$ 并且 $8^{83}=(7+1)^{83}\equiv 1+83\cdot7\text{。}$ 两式之和同余于 $166\cdot7=1162\equiv35\pmod{49}$ 。

Modulo $49,$ every binomial term containing $7^2$ vanishes. Since $83$ is odd, $6^{83}=(7-1)^{83}\equiv -1+83\cdot7$ and $8^{83}=(7+1)^{83}\equiv 1+83\cdot7.$ Their sum is congruent to $166\cdot7=1162\equiv35\pmod{49}.$

1983 AIME 第 6 题

答案：35

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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