Question

在一个火星文明中，所有未注明底数的对数都默认以某个固定的 $b$ 为底，其中 $b \ge 2$ 。一名火星学生写下方程组 $3\log(\sqrt{x}\log x) = 56$ $\log_{\log x}(x) = 54$ 并发现这个方程组有唯一实数解 $x \gt 1$ 。求 $b$ 。

In a Martian civilization, all logarithms whose bases are not specified are assumed to be base $b,$ for some fixed $b \ge 2.$ A Martian student writes down $3\log(\sqrt{x}\log x) = 56$ $\log_{\log x}(x) = 54$ and finds that this system of equations has a single real number solution $x \gt 1.$ Find $b.$

答案

答案：216

知识点：对数方程组换元法

难度评级：2400

小提示：

令 $y = \log_b x$ ；由换底公式，第二个方程给出 $\log_b y = \frac{y}{54}$

Let $y = \log_b x;$ by the change-of-base formula the second equation says $\log_b y = \frac{y}{54}$

大提示：

第一个方程变为 $\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}$ ；代入 $\log_b y = \frac{y}{54}$ 并解出 $y$

The first equation becomes $\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3};$ substitute $\log_b y = \frac{y}{54}$ and solve for $y$

解答：

令 $y = \log_b x$ 。由换底公式， $\begin{aligned} \log_{\log x}(x) &= \frac{\log_b x}{\log_b(\log_b x)} \\ &= \frac{y}{\log_b y} = 54 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $\log_b y = \frac{y}{54}$ 。第一个方程表示 $3\left(\frac{1}{2}\log_b x + \log_b(\log_b x)\right) = 56$ ，也就是 $\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}$ 。

代入 $\log_b y = \frac{y}{54}$ ，得到 $\frac{y}{2} + \frac{y}{54} = \frac{56}{3}$ ，所以 $\frac{28y}{54} = \frac{56}{3}$ ， $y = 36$ 。于是 $\log_b 36 = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$ ，所以 $b^{\frac{2}{3}} = 36$ ，从而 $b = 36^{\frac{3}{2}} = 216$ 。

Let $y = \log_b x.$ By the change-of-base formula, $\begin{aligned} \log_{\log x}(x) &= \frac{\log_b x}{\log_b(\log_b x)} \\ &= \frac{y}{\log_b y} = 54, \end{aligned}$ so $\log_b y = \frac{y}{54}.$ The first equation says $3\left(\frac{1}{2}\log_b x + \log_b(\log_b x)\right) = 56,$ that is, $\frac{y}{2} + \log_b y = \frac{56}{3}.$

Substituting $\log_b y = \frac{y}{54}$ gives $\frac{y}{2} + \frac{y}{54} = \frac{56}{3},$ so $\frac{28y}{54} = \frac{56}{3}$ and $y = 36.$ Then $\log_b 36 = \frac{36}{54} = \frac{2}{3},$ so $b^{\frac{2}{3}} = 36$ and $b = 36^{\frac{3}{2}} = 216.$

2019 AIME II 第 6 题

答案：216

难度评级：2400

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