Question

若一个整数的十进制表示 $a_1 a_2 a_3 \ldots a_k$ 满足 $a_i \lt a_{i+1}$ （当 $a_i$ 为奇数时）以及 $a_i \gt a_{i+1}$ （当 $a_i$ 为偶数时），则称它为奇偶单调。有多少个四位奇偶单调整数？

An integer is called parity-monotonic if its decimal representation $a_1 a_2 a_3 \ldots a_k$ satisfies $a_i \lt a_{i+1}$ if $a_i$ is odd, and $a_i \gt a_{i+1}$ if $a_i$ is even. How many four-digit parity-monotonic integers are there?

答案

答案：640

知识点：数字奇偶性乘法原理

难度评级：2390

小提示：

从右向左构造这个数，数一数某个给定数字前面可以紧挨着放多少个数字。

Build the number from right to left, counting how many digits may immediately precede a given digit

大提示：

对每个数字 $d$ ，恰好有 $4$ 个数字可以在它前面：小于 $d$ 的奇数，加上大于 $d$ 的偶数。数字 $0$ 永远不合格。

For every digit $d,$ exactly $4$ digits can precede it: the odd digits below $d$ together with the even digits above $d.$ The digit $0$ never qualifies.

解答：

数字 $a_i$ 可以紧挨在 $a_{i+1} = d$ 前面，当且仅当 $a_i$ 是小于 $d$ 的奇数，或者是大于 $d$ 的偶数。逐一检查 $d$ 从 $0$ 到 $9$ ，总是恰好有 $4$ 个可选数字：例如 $d = 0$ 时可选 $2$ 、 $4$ 、 $6$ 、 $8$ ； $d = 4$ 时可选 $1$ 、 $3$ 、 $6$ 、 $8$ ； $d = 9$ 时可选 $1$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 。（把 $d$ 增加 $1$ 时，一些奇数选择会被偶数选择替代，总数仍为 $4$ 。）注意 $0$ 永远不能作为前一个数字，因为 $0$ 是偶数但不大于任何数字。

因此最后一位 $a_4$ 有 $10$ 种选法，然后 $a_3$ 、 $a_2$ 、 $a_1$ 各有 $4$ 种选法；首位自动非零。总数为 $4^3 \cdot 10 = 640$ 。

A digit $a_i$ may immediately precede $a_{i+1} = d$ exactly when $a_i$ is odd and less than $d,$ or even and greater than $d.$ Checking each $d$ from $0$ to $9,$ this always allows exactly $4$ digits: for example, $d = 0$ allows $2,$ $4,$ $6,$ $8;$ $d = 4$ allows $1,$ $3,$ $6,$ $8;$ $d = 9$ allows $1,$ $3,$ $5,$ $7.$ (Raising $d$ by $1$ trades odd choices for even ones, keeping the total at $4.$ ) Note that $0$ is never an allowed predecessor, since $0$ is even but exceeds no digit.

So choose the last digit $a_4$ in $10$ ways, then each of $a_3,$ $a_2,$ $a_1$ in $4$ ways; the leading digit is automatically nonzero. The count is $4^3 \cdot 10 = 640.$

2007 AIME II 第 6 题

答案：640

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题