Question

给定实数 $x$ ，令 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。对某个整数 $k$ ，恰好有 $70$ 个正整数 $n_1$ 、 $n_2$ 、 $\ldots$ 、 $n_{70}$ 满足 $\begin{aligned} k &= \lfloor\sqrt[3]{n_1}\rfloor = \lfloor\sqrt[3]{n_2}\rfloor \\ &= \cdots = \lfloor\sqrt[3]{n_{70}}\rfloor \end{aligned}$ 并且 $k$ 整除 $n_i$ ，对所有满足 $1 \le i \le 70$ 的 $i$ 都成立。求 $\frac{n_i}{k}$ 在 $1 \le i \le 70$ 时的最大值。

Given a real number $x,$ let $\lfloor x \rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $x.$ For a certain integer $k,$ there are exactly $70$ positive integers $n_1,$ $n_2,$ $\ldots,$ $n_{70}$ such that $\begin{aligned} k &= \lfloor\sqrt[3]{n_1}\rfloor = \lfloor\sqrt[3]{n_2}\rfloor \\ &= \cdots = \lfloor\sqrt[3]{n_{70}}\rfloor \end{aligned}$ and $k$ divides $n_i$ for all $i$ such that $1 \le i \le 70.$ Find the maximum value of $\frac{n_i}{k}$ for $1 \le i \le 70.$

答案

答案：553

知识点：取整函数倍数区间内整数计数

难度评级：2510

小提示：

$\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor = k$ 表示 $k^3 \le n \lt k^3 + 3k^2 + 3k + 1$ ；数出这个范围内 $k$ 的倍数。

$\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor = k$ means $k^3 \le n \lt k^3 + 3k^2 + 3k + 1;$ count the multiples of $k$ in that range

大提示：

这样的倍数有 $3k + 4$ 个，所以解 $3k + 4 = 70$ ，再取最大的倍数。

There are $3k + 4$ such multiples, so solve $3k + 4 = 70,$ then take the largest multiple

解答：

条件 $\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor = k$ 表示 $k^3 \le n \lt (k+1)^3$ $= k^3 + 3k^2 + 3k + 1$ 。这个范围内 $k$ 的倍数为 $k \cdot k^2$ 、 $k(k^2 + 1)$ 、 $\ldots$ 、 $k(k^2 + 3k + 3)$ ，所以恰好有 $3k + 4$ 个。

令 $3k + 4 = 70$ ，得 $k = 22$ 。 $\frac{n_i}{k}$ 的最大值为 $k^2 + 3k + 3 = 484 + 66 + 3$ $= 553$ 。

The condition $\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor = k$ means $k^3 \le n \lt (k+1)^3$ $= k^3 + 3k^2 + 3k + 1.$ The multiples of $k$ in this range are $k \cdot k^2,$ $k(k^2 + 1),$ $\ldots,$ $k(k^2 + 3k + 3),$ so there are exactly $3k + 4$ of them.

Setting $3k + 4 = 70$ gives $k = 22.$ The maximum of $\frac{n_i}{k}$ is $k^2 + 3k + 3 = 484 + 66 + 3$ $= 553.$

2007 AIME II 第 7 题

答案：553

难度评级：2510

小提示：

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解答：

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