Question

令 $r$ 、 $s$ 、 $t$ 为方程 $8x^3 + 1001x + 2008 = 0$ 的三个根。求 $(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3$ 。

Let $r,$ $s,$ and $t$ be the three roots of the equation $8x^3 + 1001x + 2008 = 0.$ Find $(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3.$

答案

答案：753

知识点：韦达定理多项式立方和与立方差

难度评级：2410

小提示：

没有 $x^2$ 项，所以 $r + s + t = 0$ ，且 $r + s$ 、 $s + t$ 、 $t + r$ 分别是某个根的相反数

There is no $x^2$ term, so $r + s + t = 0$ and each of $r + s,$ $s + t,$ $t + r$ is the negative of a root

大提示：

当 $x + y + z = 0$ 时，可用恒等式 $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ ；韦达定理由常数项给出根的乘积

When $x + y + z = 0,$ the identity $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ applies; Vieta gives the product of the roots from the constant term

解答：

该三次方程没有 $x^2$ 项，所以由韦达定理 $r + s + t = 0$ 。于是 $r + s = -t$ ， $s + t = -r$ ，且 $t + r = -s$ ，所求和为 $\begin{aligned} &(-t)^3 + (-r)^3 \\ &\quad {}+ (-s)^3 \\ &= -(r^3 + s^3 + t^3) \end{aligned}\text{。}$

当 $r + s + t = 0$ 时，恒等式 $r^3 + s^3 + t^3 - 3rst$ $= (r + s + t)$ $(r^2 + s^2 + t^2 - rs - st - tr)$ 给出 $r^3 + s^3 + t^3 = 3rst$ 。由韦达定理， $rst = -\frac{2008}{8} = -251$ ，所以 $r^3 + s^3 + t^3 = -753$ ，答案为 $-(-753) = 753$ 。

The cubic has no $x^2$ term, so $r + s + t = 0$ by Vieta’s formulas. Hence $r + s = -t,$ $s + t = -r,$ and $t + r = -s,$ and the desired sum is $\begin{aligned} &(-t)^3 + (-r)^3 \\ &\quad {}+ (-s)^3 \\ &= -(r^3 + s^3 + t^3). \end{aligned}$

Whenever $r + s + t = 0,$ the identity $r^3 + s^3 + t^3 - 3rst$ $= (r + s + t)$ $(r^2 + s^2 + t^2 - rs - st - tr)$ gives $r^3 + s^3 + t^3 = 3rst.$ By Vieta’s formulas, $rst = -\frac{2008}{8} = -251,$ so $r^3 + s^3 + t^3 = -753,$ and the answer is $-(-753) = 753.$

2008 AIME II 第 7 题

答案：753

难度评级：2410

小提示：

大提示：

解答：

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