Question

设 $C$ 为以下乘积展开式中 $x^2$ 的系数： $\begin{aligned} &(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x) \cdots \\ &\quad {}\cdot (1 + 14x)(1 - 15x) \end{aligned}$ 求 $|C|$ 。

Let $C$ be the coefficient of $x^2$ in the expansion of the product $\begin{aligned} &(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x) \cdots \\ &\quad {}\cdot (1 + 14x)(1 - 15x). \end{aligned}$ Find $|C|.$

答案

答案：588

知识点：多项式代数变形前n项平方和

难度评级：2390

小提示：

$x^2$ 的系数是从 $-1, 2, -3, \ldots, 14, -15$ 中取两项相乘后对所有成对选择求和

The $x^2$ coefficient is the sum of the products of pairs from $-1, 2, -3, \ldots, 14, -15$

大提示：

使用 $2\sum_{i \lt j} a_i a_j = \left(\sum a_i\right)^2 - \sum a_i^2$ ，且交错和为 $-8$

Use $2\sum_{i \lt j} a_i a_j = \left(\sum a_i\right)^2 - \sum a_i^2,$ and the alternating sum is $-8$

解答：

将乘积写成 $\prod_{k=1}^{15} (1 + a_k x)$ ，其中 $a_k = (-1)^k k$ 。 $x^2$ 项来自从两个因式中选出 $x$ 项，因此 $C = \sum_{i \lt j} a_i a_j$ ，并且 $C = \frac{\left(\sum a_k\right)^2 - \sum a_k^2}{2}\text{。}$

交错和为 $\begin{aligned} &(-1 + 2) + (-3 + 4) \\ &\quad {}+ \cdots + (-13 + 14) - 15 \\ &= 7 - 15 \\ &= -8 \end{aligned}\text{，}$ 并且 $\begin{aligned} \sum a_k^2 &= 1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2 \\ &= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} \\ &= 1240 \end{aligned}\text{。}$

因此 $C = \frac{64 - 1240}{2} = -588$ ，所以 $|C| = 588$ 。

Write the product as $\prod_{k=1}^{15} (1 + a_k x)$ with $a_k = (-1)^k k.$ An $x^2$ term arises by choosing the $x$ -term from two factors, so $C = \sum_{i \lt j} a_i a_j,$ and $C = \frac{\left(\sum a_k\right)^2 - \sum a_k^2}{2}.$

The alternating sum is $\begin{aligned} &(-1 + 2) + (-3 + 4) \\ &\quad {}+ \cdots + (-13 + 14) - 15 \\ &= 7 - 15 \\ &= -8, \end{aligned}$ and $\begin{aligned} \sum a_k^2 &= 1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2 \\ &= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} \\ &= 1240. \end{aligned}$

Thus $C = \frac{64 - 1240}{2} = -588,$ so $|C| = 588.$

2004 AIME I 第 7 题

答案：588

难度评级：2390

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