Question

一个三角形的顶点为 $P=(-8,5)$ 、 $Q=(-15,-19)$ 和 $R=(1,-7)$ 。 $\angle P$ 的角平分线方程可写成 $ax+2y+c=0$ 的形式。求 $a+c$ 。

A triangle has vertices $P=(-8,5),$ $Q=(-15,-19),$ and $R=(1,-7).$ The equation of the bisector of $\angle P$ can be written in the form $ax+2y+c=0.$ Find $a+c.$

答案

答案：89

知识点：角平分线坐标几何向量

难度评级：2100

小提示：

求从 $P$ 指向 $Q$ 和 $R$ 的单位向量

Find the unit vectors from $P$ toward $Q$ and $R$

大提示：

内角平分线的方向是这两个单位向量之和

The internal angle-bisector direction is the sum of the two unit vectors

解答：

向量 $\overrightarrow{PQ}=(-7,-24)$ 的长度为 $25$ ，而 $\overrightarrow{PR}=(9,-12)$ 的长度为 $15$ 。它们的单位向量之和为 $\begin{aligned}v&=\left(-\frac7{25},-\frac{24}{25}\right)\\&\quad+\left(\frac35,-\frac45\right)\\&=\frac1{25}(8,-44)\end{aligned}\text{，}$ 所以角平分线的方向为 $(2,-11)$ 。一个法向量为 $(11,2)$ 。该直线经过 $P=(-8,5)$ ，所以方程为 $11(x+8)+2(y-5)=0\text{，}$ 即 $11x+2y+78=0$ 。因此 $a+c=11+78=89$ 。

We have $\overrightarrow{PQ}=(-7,-24)$ with length $25,$ and $\overrightarrow{PR}=(9,-12)$ with length $15.$ The sum of their unit vectors is $\begin{aligned}v&=\left(-\frac7{25},-\frac{24}{25}\right)\\&\quad+\left(\frac35,-\frac45\right)\\&=\frac1{25}(8,-44),\end{aligned}$ so the angle bisector has direction $(2,-11).$ A normal vector is $(11,2).$ Through $P=(-8,5),$ its equation is $11(x+8)+2(y-5)=0,$ or $11x+2y+78=0.$ Hence $a+c=11+78=89.$

1990 AIME 第 7 题

答案：89

难度评级：2100

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解答：

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