Question

设 $A$ 为下列方程所有根的绝对值之和，求 $A^2$ ：

x=\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{x}}}}}\text{。}

Find $A^2,$ where $A$ is the sum of the absolute values of all roots of the following equation:

x=\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{x}}}}}.

答案

答案：383

知识点：连分数函数二次方程

难度评级：2720

小提示：

定义 $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t}$ ；原方程表示将 $f$ 连续作用五次后仍得到 $x$ 。

Define $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t}$ ; the equation says that $f$ applied five times returns $x$

大提示：

利用 $f$ 的两个不动点，并追踪比值 $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}$ 。

Use the two fixed points of $f$ and track the ratio $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}$

解答：

令 $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t}$ ，并设它的两个不动点为 $\alpha>0>\beta$ 。它们满足 $t^2-\sqrt{19}\,t-91=0\text{。}$ 利用 $91=\alpha(\alpha-\sqrt{19})=\beta(\beta-\sqrt{19})$ 直接相减，可得 $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}=\frac{\beta}{\alpha}\,\frac{t-\alpha}{t-\beta}\text{。}$ 已知方程即 $f^5(x)=x$ 。若 $x$ 既不是 $\alpha$ 也不是 $\beta$ ，将上述比值迭代五次就会迫使 $(\frac{\beta}{\alpha})^5=1$ ，但因为 $\frac{\beta}{\alpha}<0$ ，这是不可能的。因此仅有的根是 $\alpha$ 和 $\beta$ 。

它们的绝对值之和为 $\alpha-\beta$ ，即该二次方程两根之差。因此 $A=\sqrt{(\sqrt{19})^2+4(91)}=\sqrt{383}\text{，}$ 所以 $A^2=383$ 。

Let $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t},$ and let $\alpha>0>\beta$ be its fixed points. They satisfy $t^2-\sqrt{19}\,t-91=0.$ A direct subtraction using $91=\alpha(\alpha-\sqrt{19})=\beta(\beta-\sqrt{19})$ gives $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}=\frac{\beta}{\alpha}\,\frac{t-\alpha}{t-\beta}.$ The given equation is $f^5(x)=x.$ If $x$ were neither $\alpha$ nor $\beta,$ iterating the displayed ratio five times would force $(\frac{\beta}{\alpha})^5=1,$ which is impossible because $\frac{\beta}{\alpha}<0.$ Thus the only roots are $\alpha$ and $\beta.$

Their absolute values sum to $\alpha-\beta,$ the difference of the roots of the quadratic. Hence $A=\sqrt{(\sqrt{19})^2+4(91)}=\sqrt{383},$ so $A^2=383.$

1991 AIME 第 7 题

答案：383

难度评级：2720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题