Question

以 $[r,s]$ 表示正整数 $r$ 、 $s$ 的最小公倍数。求满足 $[a,b]=1000$ 、 $[b,c]=2000$ ，且 $[c,a]=2000$ 的有序三元组 $(a,b,c)$ 的个数。

Let $[r,s]$ denote the least common multiple of positive integers $r,$ $s.$ Find the number of ordered triples $(a,b,c)$ for which $[a,b]=1000,$ $[b,c]=2000,$ and $[c,a]=2000.$

答案

答案：70

知识点：最小公倍数质因数分解乘法原理

难度评级：2230

小提示：

分别考虑 $2$ 和 $5$ 的指数

Treat the exponents of $2$ and $5$ independently

大提示：

对每个质数，把每个最小公倍数条件转化为两个指数最大值的条件

For each prime, translate every least common multiple into a condition on pairwise maxima

解答：

对于 $5$ 的指数，三个两两最大值都等于 $3$ 。因此至少有两个指数为 $3$ ：三个指数全为 $3$ 有一种，恰有两个指数为 $3$ 有 $3\cdot3$ 种，共 $10$ 种选择。

对于 $2$ 的指数，第一对的最大值为 $3$ ，另外两对的最大值为 $4$ 。 $c$ 的指数必须为 $4$ ，而 $a$ 和 $b$ 的指数属于 $\{0,1,2,3\}$ ，且最大值为 $3$ ，共有 $4^2-3^2=7$ 种选择。两部分相互独立，所以共有 $10\cdot7=70$ 种。

For the exponent of $5,$ all three pairwise maxima equal $3.$ Thus at least two exponents are $3:$ there is one all- $3$ triple and $3\cdot3$ triples with exactly two $3$ ’s, for $10$ choices.

For the exponent of $2,$ the first pair has maximum $3$ while the other two have maximum $4.$ The exponent of $c$ must be $4,$ and the exponents of $a$ and $b$ lie in $\{0,1,2,3\}$ with maximum $3,$ giving $4^2-3^2=7$ choices. Independence gives $10\cdot7=70.$

1987 AIME 第 7 题

答案：70

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

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