Question

设 $\triangle PQR$ 是直角三角形，且 $PQ = 90$ ， $PR = 120$ ， $QR = 150$ 。令 $C_1$ 为其内切圆。作 $\overline{ST}$ ，其中 $S$ 在 $\overline{PR}$ 上、 $T$ 在 $\overline{QR}$ 上，使得 $\overline{ST}$ 垂直于 $\overline{PR}$ 并与 $C_1$ 相切。作 $\overline{UV}$ ，其中 $U$ 在 $\overline{PQ}$ 上、 $V$ 在 $\overline{QR}$ 上，使得 $\overline{UV}$ 垂直于 $\overline{PQ}$ 并与 $C_1$ 相切。令 $C_2$ 为 $\triangle RST$ 的内切圆， $C_3$ 为 $\triangle QUV$ 的内切圆。 $C_2$ 和 $C_3$ 的圆心距离可写为 $\sqrt{10n}$ 。求 $n$ 。

Let $\triangle PQR$ be a right triangle with $PQ = 90,$ $PR = 120,$ and $QR = 150.$ Let $C_1$ be the inscribed circle. Construct $\overline{ST},$ with $S$ on $\overline{PR}$ and $T$ on $\overline{QR},$ such that $\overline{ST}$ is perpendicular to $\overline{PR}$ and tangent to $C_1.$ Construct $\overline{UV}$ with $U$ on $\overline{PQ}$ and $V$ on $\overline{QR}$ such that $\overline{UV}$ is perpendicular to $\overline{PQ}$ and tangent to $C_1.$ Let $C_2$ be the inscribed circle of $\triangle RST$ and $C_3$ the inscribed circle of $\triangle QUV.$ The distance between the centers of $C_2$ and $C_3$ can be written as $\sqrt{10n}.$ What is $n?$

答案

答案：725

知识点：内切圆、内心与内切圆半径直角三角形相似距离公式

难度评级：2560

小提示：

将 $P$ 放在原点。大内切圆半径为 $\frac{90 + 120 - 150}{2} = 30$ ，所以 $\overline{ST}$ 和 $\overline{UV}$ 是直线 $x = 60$ 与 $y = 60$ 。

Put $P$ at the origin. The big incircle has radius $\frac{90 + 120 - 150}{2} = 30,$ so $\overline{ST}$ and $\overline{UV}$ are the lines $x = 60$ and $y = 60.$

大提示：

三角形 $RST$ 和 $QUV$ 分别与原三角形相似，比例为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ ；用坐标确定两个小内切圆圆心。

Triangles $RST$ and $QUV$ are similar to the original with ratios $\frac{1}{2}$ and $\frac{1}{3};$ locate each small incircle’s center in coordinates

解答：

直角在 $P$ ，所以令 $P = (0, 0)$ 、 $Q = (0, 90)$ 、 $R = (120, 0)$ 。直角三角形的内切圆半径等于两条直角边之和减去斜边后的一半： $r_1 = \frac{90 + 120 - 150}{2} = 30$ ，所以 $C_1$ 的圆心为 $(30, 30)$ 。在 $C_1$ 靠近 $R$ 的一侧，垂直于 $\overline{PR}$ 的切线为 $x = 60$ ；在靠近 $Q$ 的一侧，垂直于 $\overline{PQ}$ 的切线为 $y = 60$ 。

三角形 $RST$ 与三角形 $RPQ$ 相似，比例为 $\frac{RS}{RP} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$ ，所以其内切圆半径为 $15$ ，内切圆 $C_2$ 的圆心为 $(60 + 15, 15) = (75, 15)$ 。三角形 $QUV$ 与三角形 $QPR$ 相似，比例为 $\frac{QU}{QP} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$ ，所以其内切圆半径为 $10$ ， $C_3$ 的圆心为 $(10, 60 + 10) = (10, 70)$ 。

两圆心距离的平方为 $65^2 + 55^2$ $= 4225 + 3025$ $= 7250$ $= 10 \cdot 725$ ，所以 $n = 725$ 。

The right angle is at $P,$ so place $P = (0, 0),$ $Q = (0, 90),$ $R = (120, 0).$ The inradius of a right triangle is half the difference between the sum of the legs and the hypotenuse: $r_1 = \frac{90 + 120 - 150}{2} = 30,$ so $C_1$ has center $(30, 30).$ The tangent line to $C_1$ perpendicular to $\overline{PR}$ (on the side toward $R$ ) is $x = 60,$ and the tangent perpendicular to $\overline{PQ}$ (toward $Q$ ) is $y = 60.$

Triangle $RST$ is similar to triangle $RPQ$ with ratio $\frac{RS}{RP} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2},$ so its inradius is $15$ and its incircle $C_2$ is centered at $(60 + 15, 15) = (75, 15).$ Triangle $QUV$ is similar to triangle $QPR$ with ratio $\frac{QU}{QP} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3},$ so its inradius is $10$ and $C_3$ is centered at $(10, 60 + 10) = (10, 70).$

The squared distance is $65^2 + 55^2$ $= 4225 + 3025$ $= 7250$ $= 10 \cdot 725,$ so $n = 725.$

2001 AIME II 第 7 题

答案：725

难度评级：2560

小提示：

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解答：

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