Question

设 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 是满足 $xyz = 1$ 、 $x + \frac{1}{z} = 5$ 和 $y + \frac{1}{x} = 29$ 的三个正数。若 $z + \frac{1}{y} = \frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数，求 $m + n$ 。

Suppose that $x,$ $y,$ and $z$ are three positive numbers that satisfy the equations $xyz = 1,$ $x + \frac{1}{z} = 5,$ and $y + \frac{1}{x} = 29.$ Then $z + \frac{1}{y} = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：5

知识点：方程组代数变形对称性（代数）

难度评级：2330

小提示：

将三个表达式 $x + \frac{1}{z}$ 、 $y + \frac{1}{x}$ 、 $z + \frac{1}{y}$ 相乘并展开。

Multiply the three expressions $x + \frac{1}{z},$ $y + \frac{1}{x},$ $z + \frac{1}{y}$ together and expand

大提示：

由于 $xyz = 1$ ，这个乘积等于 $2$ 加上这三个表达式的和。

Because $xyz = 1,$ the product equals $2$ plus the sum of the same three expressions

解答：

令 $t = z + \frac{1}{y}$ 。展开三个表达式的乘积： $\begin{aligned} &\left(x + \frac{1}{z}\right)\!\left(y + \frac{1}{x}\right)\!\left(z + \frac{1}{y}\right) \\ &= xyz + \frac{1}{xyz} + \left(x + \frac{1}{z}\right) \\ &\quad {}+ \left(y + \frac{1}{x}\right) + \left(z + \frac{1}{y}\right) \end{aligned}\text{。}$ 因为 $xyz = 1$ ，左边为 $5 \cdot 29 \cdot t = 145t$ ，右边为 $2 + 5 + 29 + t = 36 + t$ 。

所以 $145t = 36 + t$ ，得到 $t = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}$ 。因此 $m + n = 1 + 4 = 5$ 。

Let $t = z + \frac{1}{y}.$ Expanding the product of all three expressions, $\begin{aligned} &\left(x + \frac{1}{z}\right)\!\left(y + \frac{1}{x}\right)\!\left(z + \frac{1}{y}\right) \\ &= xyz + \frac{1}{xyz} + \left(x + \frac{1}{z}\right) \\ &\quad {}+ \left(y + \frac{1}{x}\right) + \left(z + \frac{1}{y}\right). \end{aligned}$ Since $xyz = 1,$ the left side is $5 \cdot 29 \cdot t = 145t$ and the right side is $2 + 5 + 29 + t = 36 + t.$

So $145t = 36 + t,$ giving $t = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}.$ Thus $m + n = 1 + 4 = 5.$

2000 AIME I 第 7 题

答案：5

难度评级：2330

小提示：

大提示：

解答：

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