Question

函数 $f$ 定义在整数集上，并满足 $f(n)=n-3$ （当 $n\geq1000$ 时），以及 $f(n)=f(f(n+5))$ （当 $n<1000$ 时）。求 $f(84)$ 。

The function $f$ is defined on the set of integers and satisfies $f(n)=n-3$ if $n\geq1000,$ and $f(n)=f(f(n+5))$ if $n<1000.$ Find $f(84).$

答案

答案：997

知识点：递推数学归纳法奇偶性

难度评级：2440

小提示：

先计算 $f(995)$ 、 $f(996)$ 、 $\ldots$ 、 $f(999)$

Start by evaluating $f(995),$ $f(996),$ $\ldots,$ $f(999)$

大提示：

用向下归纳法找出所有小于 $1000$ 的整数所遵循的奇偶规律

Use downward induction to find a parity pattern for every integer below $1000$

解答：

由定义直接得到 $\begin{aligned} f(999)&=f(f(1004))\\ &=f(1001)=998,\\ f(998)&=f(f(1003))\\ &=f(1000)=997 \end{aligned}\text{。}$ 继续计算可得 $f(997)=998$ 、 $f(996)=997$ 和 $f(995)=998$ 。

现用向下归纳法。若偶数 $n<995$ ，则 $n+5$ 为奇数，所以根据已在大于 $n$ 的整数上成立的规律，有 $f(n)=f(f(n+5))$ 。因此 $f(n)=f(998)=997$ 。若 $n$ 为奇数，同理得到 $f(n)=f(997)=998$ 。所以每个偶数 $n<1000$ 的值都是 $997$ 。由于 $84$ 是偶数，故 $f(84)=997$ 。

Directly from the definition, $\begin{aligned} f(999)&=f(f(1004))\\ &=f(1001)=998,\\ f(998)&=f(f(1003))\\ &=f(1000)=997. \end{aligned}$ Continuing gives $f(997)=998,$ $f(996)=997,$ and $f(995)=998.$

We now use downward induction. If $n<995$ is even, then $n+5$ is odd, so the established pattern above $n$ gives $f(n)=f(f(n+5)).$ Thus $f(n)=f(998)=997.$ If $n$ is odd, the same argument gives $f(n)=f(997)=998.$ Thus every even $n<1000$ has value $997.$ Since $84$ is even, $f(84)=997.$

1984 AIME 第 7 题

答案：997

难度评级：2440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题