Question

在三角形 $ABC$ 中， $\tan\angle CAB=\frac{22}{7}$ ，且从 $A$ 作出的高将 $BC$ 分成长度为 $3$ 和 $17$ 的两段。求三角形 $ABC$ 的面积。

In triangle $ABC,$ $\tan\angle CAB=\frac{22}{7},$ and the altitude from $A$ divides $BC$ into segments of length $3$ and $17.$ What is the area of triangle $ABC?$

答案

答案：110

知识点：三角形面积三角学向量

难度评级：1870

小提示：

设高的长度为 $h$ ，并将垂足置于原点

Let the altitude have length $h$ and place its foot at the origin

大提示：

用叉积除以点积表示两条边向量夹角的正切

Use cross product over dot product to express the tangent of the angle between the two side vectors

解答：

设高为 $h$ 。从 $A$ 指向 $BC$ 两端点的向量可取为 $(-3,-h)$ 和 $(17,-h)$ 。因此 $\tan\angle CAB=\frac{20h}{h^2-51}=\frac{22}{7}\text{。}$ 从而 $11h^2-70h-561=0$ ，其正根为 $h=11$ 。因为 $BC=3+17=20$ ，面积为 $\frac12(20)(11)=110$ 。

Let the altitude length be $h.$ From $A,$ vectors to the endpoints of $BC$ may be taken as $(-3,-h)$ and $(17,-h).$ Therefore $\tan\angle CAB=\frac{20h}{h^2-51}=\frac{22}{7}.$ Thus $11h^2-70h-561=0,$ whose positive root is $h=11.$ Since $BC=3+17=20,$ the area is $\frac12(20)(11)=110.$

1988 AIME 第 7 题

答案：110

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

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