Question

可以在下图 $5\times5$ 方格的二十一个空格中填入正整数，使每一行和每一列中的数都成等差数列。求标有星号 $(*)$ 的空格中必须填入的数。

It is possible to place positive integers into the vacant twenty-one squares of the $5\times5$ square shown below so that the numbers in each row and column form arithmetic sequences. Find the number that must occupy the vacant square marked by the asterisk $(*).$

答案

答案：142

知识点：等差数列找规律方程组

难度评级：2030

小提示：

从 $0$ 到 $4$ 依次标记各行和各列

Index the rows and columns from $0$ through $4$

大提示：

行和列均为等差数列的方格具有 $A+Bi+Cj+Dij$ 的形式

A grid whose rows and columns are arithmetic has the form $A+Bi+Cj+Dij$

解答：

从 $0$ 到 $4$ 标记各行和各列。行列条件说明一般项为 $A+Bi+Cj+Dij$ 。图中四个已知值给出 $\begin{aligned}A+4B&=0,\\A+B+C+D&=74,\\A+2B+4C+8D&=186,\\A+3B+2C+6D&=103\end{aligned}\text{。}$ 解得 $A=52$ 、 $B=-13$ 、 $C=30$ ，且 $D=5$ 。星号位于 $(i,j)=(0,3)$ ，所以其值为 $A+3C=52+90=142$ 。

Index rows and columns from $0$ to $4.$ The row and column conditions give the general entry $A+Bi+Cj+Dij.$ The four shown values yield $\begin{aligned}A+4B&=0,\\A+B+C+D&=74,\\A+2B+4C+8D&=186,\\A+3B+2C+6D&=103.\end{aligned}$ Solving gives $A=52,$ $B=-13,$ $C=30,$ and $D=5.$ The asterisk is at $(i,j)=(0,3),$ so its value is $A+3C=52+90=142.$

1988 AIME 第 6 题

答案：142

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题