Question

Es posible colocar enteros positivos en las veintiuna casillas vacías del cuadrado de $5\times5$ que se muestra, de modo que los números de cada fila y columna formen sucesiones aritméticas. Halla el número que debe ocupar la casilla vacía marcada con el asterisco $(*).$

It is possible to place positive integers into the vacant twenty-one squares of the $5\times5$ square shown below so that the numbers in each row and column form arithmetic sequences. Find the number that must occupy the vacant square marked by the asterisk $(*).$

Respuesta

Respuesta: 142

Conceptos:sucesión aritmética reconocimiento de patrones sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Numera las filas y columnas desde $0$ hasta $4$

Index the rows and columns from $0$ through $4$

Pista grande:

Una cuadrícula en la que cada fila y columna es una sucesión aritmética tiene la forma $A+Bi+Cj+Dij$

A grid whose rows and columns are arithmetic has the form $A+Bi+Cj+Dij$

Solución:

Numera las filas y columnas de $0$ a $4.$ Las condiciones de filas y columnas dan la entrada general $A+Bi+Cj+Dij.$ Los cuatro valores mostrados producen $\begin{aligned}A+4B&=0,\\A+B+C+D&=74,\\A+2B+4C+8D&=186,\\A+3B+2C+6D&=103.\end{aligned}$ Al resolver se obtiene $A=52,$ $B=-13,$ $C=30,$ y $D=5.$ El asterisco está en $(i,j)=(0,3),$ así que su valor es $A+3C=52+90=142.$

Index rows and columns from $0$ to $4.$ The row and column conditions give the general entry $A+Bi+Cj+Dij.$ The four shown values yield $\begin{aligned}A+4B&=0,\\A+B+C+D&=74,\\A+2B+4C+8D&=186,\\A+3B+2C+6D&=103.\end{aligned}$ Solving gives $A=52,$ $B=-13,$ $C=30,$ and $D=5.$ The asterisk is at $(i,j)=(0,3),$ so its value is $A+3C=52+90=142.$

1988 AIME Problema 6

Respuesta: 142

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años