Question

Supón que $r$ es un número real tal que $\begin{aligned}&\left\lfloor r+\frac{19}{100}\right\rfloor+\left\lfloor r+\frac{20}{100}\right\rfloor\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{21}{100}\right\rfloor+\cdots\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{91}{100}\right\rfloor=546.\end{aligned}$ Halla $\lfloor100r\rfloor.$ (Para un número real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$ )

Suppose $r$ is a real number for which $\begin{aligned}&\left\lfloor r+\frac{19}{100}\right\rfloor+\left\lfloor r+\frac{20}{100}\right\rfloor\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{21}{100}\right\rfloor+\cdots\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{91}{100}\right\rfloor=546.\end{aligned}$ Find $\lfloor100r\rfloor.$ (For real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Respuesta: 743

Conceptos:funciones piso y techo conteo de enteros en un rango sumatoria

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Escribe $r=n+f$ , donde $n$ es entero y $0\leq f<1$

Write $r=n+f$ with integer $n$ and $0\leq f<1$

Pista grande:

Después de quitar la parte entera común, cuenta cuántos de los $73$ términos fraccionarios alcanzan o superan $1$

After removing the common integer part, count how many of the $73$ fractional terms cross $1$

Solución:

Escribe $r=n+f,$ donde $n$ es un entero y $0\leq f<1.$ Hay $73$ sumandos. Como $546=73\cdot7+35,$ debe cumplirse $n=7,$ y exactamente $35$ de los números $f+\frac{19}{100},$ $\ldots,$ $f+\frac{91}{100}$ tienen parte entera $1.$ Estos deben ser los términos cuyos numeradores son $57,$ $58,$ $\ldots,$ $91.$ Por tanto, $f+\frac{56}{100}<1\leq f+\frac{57}{100},$ de modo que $43\leq100f<44.$ En consecuencia, $\lfloor100r\rfloor=700+43=743.$

Write $r=n+f,$ where $n$ is an integer and $0\leq f<1.$ There are $73$ summands. Since $546=73\cdot7+35,$ we must have $n=7,$ and exactly $35$ of the numbers $f+\frac{19}{100},$ $\ldots,$ $f+\frac{91}{100}$ have floor $1.$ These must be the terms with numerators $57,$ $58,$ $\ldots,$ $91.$ Hence $f+\frac{56}{100}<1\leq f+\frac{57}{100},$ so $43\leq100f<44.$ Therefore $\lfloor100r\rfloor=700+43=743.$

1991 AIME Problema 6

Respuesta: 743

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años