Soluciones del 1991 AIME | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Halla $x^2+y^2$ si $x$ e $y$ son enteros positivos tales que $\begin{aligned}xy+x+y&=71,\\x^2y+xy^2&=880.\end{aligned}$

Find $x^2+y^2$ if $x$ and $y$ are positive integers such that $\begin{aligned}xy+x+y&=71,\\x^2y+xy^2&=880.\end{aligned}$

Respuesta

Conceptos:simetría (álgebra)sistema de ecuaciones cuadrática

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Define $s=x+y$ y $p=xy$ , y reescribe las dos ecuaciones dadas en términos de $s$ y $p$

Let $s=x+y$ and $p=xy$ , and rewrite both given equations using $s$ and $p$

Pista grande:

Las dos ecuaciones determinan $s+p$ y $sp$ , por lo que $s$ y $p$ son las raíces de una misma ecuación cuadrática

The two equations determine $s+p$ and $sp$ , so $s$ and $p$ are roots of one quadratic

Solución:

Sean $s=x+y$ y $p=xy.$ Las ecuaciones se convierten en $s+p=71$ y $sp=880,$ así que $s$ y $p$ son las raíces de $\begin{aligned}t^2-71t+880&=0,\\ (t-16)(t-55)&=0.\end{aligned}$ Como $x$ e $y$ son enteros positivos, $s=16$ y $p=55$ ; en efecto, $x=5$ e $y=11.$ Por lo tanto, $\begin{aligned}x^2+y^2&=s^2-2p\\&=16^2-2(55)=146.\end{aligned}$

Let $s=x+y$ and $p=xy.$ The equations become $s+p=71$ and $sp=880,$ so $s$ and $p$ are the roots of $\begin{aligned}t^2-71t+880&=0,\\ (t-16)(t-55)&=0.\end{aligned}$ Because $x$ and $y$ are positive integers, $s=16$ and $p=55$ ; indeed, $x=5$ and $y=11.$ Therefore $\begin{aligned}x^2+y^2&=s^2-2p\\&=16^2-2(55)=146.\end{aligned}$

2.

El rectángulo $ABCD$ tiene el lado $\overline{AB}$ de longitud $4$ y el lado $\overline{CB}$ de longitud $3.$ Divide $\overline{AB}$ en $168$ segmentos congruentes mediante los puntos $A=P_0,$ $P_1,$ $\ldots,$ $P_{168}=B,$ y divide $\overline{CB}$ en $168$ segmentos congruentes mediante los puntos $C=Q_0,$ $Q_1,$ $\ldots,$ $Q_{168}=B.$ Para $1\leq k\leq167,$ traza los segmentos $\overline{P_kQ_k}.$ Repite esta construcción en los lados $\overline{AD}$ y $\overline{CD},$ y luego traza la diagonal $\overline{AC}.$ Halla la suma de las longitudes de los $335$ segmentos paralelos trazados.

Rectangle $ABCD$ has sides $\overline{AB}$ of length $4$ and $\overline{CB}$ of length $3.$ Divide $\overline{AB}$ into $168$ congruent segments with points $A=P_0,$ $P_1,$ $\ldots,$ $P_{168}=B,$ and divide $\overline{CB}$ into $168$ congruent segments with points $C=Q_0,$ $Q_1,$ $\ldots,$ $Q_{168}=B.$ For $1\leq k\leq167,$ draw the segments $\overline{P_kQ_k}.$ Repeat this construction on the sides $\overline{AD}$ and $\overline{CD},$ and then draw the diagonal $\overline{AC}.$ Find the sum of the lengths of the $335$ parallel segments drawn.

Respuesta

Conceptos:semejanza sucesión aritmética rectángulo

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Cada segmento $\overline{P_kQ_k}$ es paralelo a la hipotenusa del triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5$ , y su longitud es una fracción fija de la de esa hipotenusa

Each segment $\overline{P_kQ_k}$ is parallel to the $3$ - $4$ - $5$ diagonal and is a fixed fraction of its length

Pista grande:

Las dos construcciones sobre los lados producen dos sumas aritméticas idénticas; recuerda incluir $\overline{AC}$

The two side constructions give two identical arithmetic sums; remember to include $\overline{AC}$

Solución:

Toma $A=(0,0),$ $B=(4,0),$ y $C=(4,3).$ Entonces $\begin{aligned}P_k&=\left(\frac{4k}{168},0\right),\\Q_k&=\left(4,3-\frac{3k}{168}\right),\end{aligned}$ por lo que la proporción $3$ - $4$ - $5$ da $P_kQ_k=5\left(1-\frac{k}{168}\right).$ Así, una construcción tiene longitud total $5\sum_{k=1}^{167}\left(1-\frac{k}{168}\right)=\frac{5\cdot167}{2}.$ La construcción en los otros dos lados tiene el mismo total, y $AC=5.$ Por consiguiente, la suma pedida es $5(167)+5=840.$

Put $A=(0,0),$ $B=(4,0),$ and $C=(4,3).$ Then $\begin{aligned}P_k&=\left(\frac{4k}{168},0\right),\\Q_k&=\left(4,3-\frac{3k}{168}\right),\end{aligned}$ so the $3$ - $4$ - $5$ ratio gives $P_kQ_k=5\left(1-\frac{k}{168}\right).$ Hence one construction has total length $5\sum_{k=1}^{167}\left(1-\frac{k}{168}\right)=\frac{5\cdot167}{2}.$ The construction on the other two sides has the same total, and $AC=5.$ Thus the requested sum is $5(167)+5=840.$

3.

Al desarrollar $(1+0.2)^{1000}$ mediante el teorema del binomio, sin efectuar ninguna manipulación adicional, se obtiene $\begin{aligned}&\binom{1000}{0}(0.2)^0+\binom{1000}{1}(0.2)^1\\&+\binom{1000}{2}(0.2)^2+\cdots\\&+\binom{1000}{1000}(0.2)^{1000}\\&=A_0+A_1+\cdots+A_{1000},\end{aligned}$ donde $A_k=\binom{1000}{k}(0.2)^k$ para $k=0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $1000.$ ¿Para qué valor de $k$ es $A_k$ el mayor?

Expanding $(1+0.2)^{1000}$ by the binomial theorem and doing no further manipulation gives $\begin{aligned}&\binom{1000}{0}(0.2)^0+\binom{1000}{1}(0.2)^1\\&+\binom{1000}{2}(0.2)^2+\cdots\\&+\binom{1000}{1000}(0.2)^{1000}\\&=A_0+A_1+\cdots+A_{1000},\end{aligned}$ where $A_k=\binom{1000}{k}(0.2)^k$ for $k=0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $1000.$ For which $k$ is $A_k$ the largest?

Respuesta

Conceptos:teorema del binomio desigualdad optimización

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Compara $A_{k+1}$ directamente con $A_k$ en vez de estimar los coeficientes binomiales

Compare $A_{k+1}$ directly with $A_k$ instead of estimating the binomial coefficients

Pista grande:

Halla el último $k$ para el cual $\frac{A_{k+1}}{A_k}$ es mayor que $1$

Find the last $k$ for which $\frac{A_{k+1}}{A_k}$ is greater than $1$

Solución:

Los términos consecutivos satisfacen $\frac{A_{k+1}}{A_k}=\frac{1000-k}{k+1}\cdot\frac15.$ Esta razón es mayor que $1$ exactamente cuando $1000-k>5k+5,$ es decir, cuando $k<\frac{995}{6}.$ Por lo tanto, los términos aumentan hasta $A_{166}$ y disminuyen después. En consecuencia, el término mayor es $A_{166}.$

Consecutive terms satisfy $\frac{A_{k+1}}{A_k}=\frac{1000-k}{k+1}\cdot\frac15.$ This ratio exceeds $1$ exactly when $1000-k>5k+5,$ or $k<\frac{995}{6}.$ Thus the terms increase through $A_{166}$ and decrease afterward. Therefore the largest term is $A_{166}.$

4.

¿Cuántos números reales $x$ satisfacen la ecuación $\frac15\log_2x=\sin(5\pi x)?$

How many real numbers $x$ satisfy the equation $\frac15\log_2x=\sin(5\pi x)?$

Respuesta

Conceptos:trigonometría logaritmo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

La cota $\lvert\sin(5\pi x)\rvert\leq1$ restringe $x$ a un intervalo finito

The bound $\lvert\sin(5\pi x)\rvert\leq1$ restricts $x$ to a finite interval

Pista grande:

Separa las semiondas positivas y negativas de la función seno y cuenta dos intersecciones en cada semionda completa admisible

Separate the positive and negative half-waves of the sine function and count two crossings on each eligible full half-wave

Solución:

Sea $h(x)=\sin(5\pi x)-\frac15\log_2x.$ Toda raíz pertenece a $[2^{-5},2^5]=[\frac{1}{32},32].$

Para $x<1,$ una raíz solo puede aparecer en una semionda negativa del seno. Hay dos semiondas de este tipo, $(\frac{1}{5},\frac{2}{5})$ y $(\frac{3}{5},\frac{4}{5}).$ En cada una, $h$ es positiva en ambos extremos y negativa en el punto medio, por lo que hay dos raíces. La unicidad en la mitad descendente se deduce de la monotonía; en la mitad ascendente, $\begin{aligned}h''&=-25\pi^2\sin(5\pi x)\\&\quad+\frac1{5x^2\ln2}>0,\end{aligned}$ de modo que $h'$ aumenta desde un valor negativo en el punto medio y se anula una sola vez. Por tanto, $h$ primero decrece y luego aumenta desde un valor negativo en el punto medio hasta un valor positivo en el extremo, lo que da exactamente una raíz en esta mitad. Así, hay $4$ raíces menores que $1.$

Además, $x=1$ es una raíz. Para $1<x<32,$ las raíces solo pueden aparecer en las semiondas positivas $(\frac{2m}{5},\frac{2m+1}{5})$ con $m=3,$ $4,$ $\ldots,$ $79.$ Hay $77$ de ellas. El valor de $h$ es negativo en cada extremo y positivo en el punto medio. La mitad derecha es estrictamente decreciente. En la mitad izquierda, $\begin{aligned}h'''&=-125\pi^3\cos(5\pi x)\\&\quad-\frac2{5x^3\ln2}<0,\end{aligned}$ por lo que $h'$ es estrictamente cóncava. Es positiva en el extremo izquierdo y negativa en el punto medio, así que cambia de signo exactamente una vez. En consecuencia, $h$ sube hasta un único máximo y luego baja hasta un punto medio que todavía es positivo, lo que da exactamente una intersección en la mitad izquierda. Por consiguiente, cada una de estas semiondas aporta exactamente dos raíces. Por lo tanto, el total es $4+1+2(77)=159.$

Let $h(x)=\sin(5\pi x)-\frac15\log_2x.$ Any root lies in $[2^{-5},2^5]=[\frac{1}{32},32].$

For $x<1,$ a root can occur only on a negative half-wave of the sine. There are two such half-waves, $(\frac{1}{5},\frac{2}{5})$ and $(\frac{3}{5},\frac{4}{5}).$ On each, $h$ is positive at both endpoints and negative at the midpoint, so there are two roots. Uniqueness on the descending half follows from monotonicity; on the ascending half, $\begin{aligned}h''&=-25\pi^2\sin(5\pi x)\\&\quad+\frac1{5x^2\ln2}>0,\end{aligned}$ so $h'$ increases from a negative value at the midpoint and vanishes once. The function $h$ therefore first decreases and then increases from a negative midpoint value to a positive endpoint value, giving exactly one root on this half. Thus there are $4$ roots below $1.$

Also $x=1$ is a root. For $1<x<32,$ roots can occur only on positive half-waves $(\frac{2m}{5},\frac{2m+1}{5})$ with $m=3,$ $4,$ $\ldots,$ $79.$ There are $77$ of these. The value of $h$ is negative at each endpoint and positive at the midpoint. The right half is strictly decreasing. On the left half, $\begin{aligned}h'''&=-125\pi^3\cos(5\pi x)\\&\quad-\frac2{5x^3\ln2}<0,\end{aligned}$ so $h'$ is strictly concave. It is positive at the left endpoint and negative at the midpoint, so it changes sign exactly once. Consequently, $h$ rises to one maximum and then falls to a still-positive midpoint, giving exactly one crossing on the left half. Hence every such half-wave contributes exactly two roots. Therefore the total number is $4+1+2(77)=159.$

5.

Dado un número racional, escríbelo como una fracción en su mínima expresión y calcula el producto del numerador y el denominador resultantes. ¿Para cuántos números racionales entre $0$ y $1$ será $20!$ el producto obtenido?

Given a rational number, write it as a fraction in lowest terms and calculate the product of the resulting numerator and denominator. For how many rational numbers between $0$ and $1$ will $20!$ be the resulting product?

Respuesta

Conceptos:factorización en primos máximo común divisor subconjuntos

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Si $\frac{a}{b}$ está en su mínima expresión y $ab=20!$ , la potencia completa de cada primo que aparece en $20!$ debe asignarse por entero a $a$ o a $b$

If $\frac{a}{b}$ is in lowest terms and $ab=20!$ , each full prime power of $20!$ must go entirely to one of $a$ or $b$

Pista grande:

Cuenta las asignaciones ordenadas de las distintas potencias de primos y luego usa la condición $a<b$

Count ordered allocations of the distinct prime-power factors, then use the condition $a<b$

Solución:

Los distintos primos que dividen $20!$ son $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ y $19.$ Si $\frac{a}{b}$ está en su mínima expresión y $ab=20!,$ la potencia completa de cada uno de estos ocho primos debe asignarse a $a$ o a $b.$ Por lo tanto, hay $2^8$ factorizaciones coprimas ordenadas $ab=20!.$ Como $a\neq b,$ exactamente la mitad satisface $0<\frac{a}{b}<1.$ El número buscado es $2^7=128.$

The distinct primes dividing $20!$ are $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ and $19.$ If $\frac{a}{b}$ is in lowest terms and $ab=20!,$ the entire power of each of these eight primes must be assigned to either $a$ or $b.$ Thus there are $2^8$ ordered coprime factorizations $ab=20!.$ Since $a\neq b,$ exactly half have $0<\frac{a}{b}<1.$ The number sought is $2^7=128.$

6.

Supón que $r$ es un número real tal que $\begin{aligned}&\left\lfloor r+\frac{19}{100}\right\rfloor+\left\lfloor r+\frac{20}{100}\right\rfloor\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{21}{100}\right\rfloor+\cdots\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{91}{100}\right\rfloor=546.\end{aligned}$ Halla $\lfloor100r\rfloor.$ (Para un número real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$ )

Suppose $r$ is a real number for which $\begin{aligned}&\left\lfloor r+\frac{19}{100}\right\rfloor+\left\lfloor r+\frac{20}{100}\right\rfloor\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{21}{100}\right\rfloor+\cdots\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{91}{100}\right\rfloor=546.\end{aligned}$ Find $\lfloor100r\rfloor.$ (For real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo conteo de enteros en un rango sumatoria

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Escribe $r=n+f$ , donde $n$ es entero y $0\leq f<1$

Write $r=n+f$ with integer $n$ and $0\leq f<1$

Pista grande:

Después de quitar la parte entera común, cuenta cuántos de los $73$ términos fraccionarios alcanzan o superan $1$

After removing the common integer part, count how many of the $73$ fractional terms cross $1$

Solución:

Escribe $r=n+f,$ donde $n$ es un entero y $0\leq f<1.$ Hay $73$ sumandos. Como $546=73\cdot7+35,$ debe cumplirse $n=7,$ y exactamente $35$ de los números $f+\frac{19}{100},$ $\ldots,$ $f+\frac{91}{100}$ tienen parte entera $1.$ Estos deben ser los términos cuyos numeradores son $57,$ $58,$ $\ldots,$ $91.$ Por tanto, $f+\frac{56}{100}<1\leq f+\frac{57}{100},$ de modo que $43\leq100f<44.$ En consecuencia, $\lfloor100r\rfloor=700+43=743.$

Write $r=n+f,$ where $n$ is an integer and $0\leq f<1.$ There are $73$ summands. Since $546=73\cdot7+35,$ we must have $n=7,$ and exactly $35$ of the numbers $f+\frac{19}{100},$ $\ldots,$ $f+\frac{91}{100}$ have floor $1.$ These must be the terms with numerators $57,$ $58,$ $\ldots,$ $91.$ Hence $f+\frac{56}{100}<1\leq f+\frac{57}{100},$ so $43\leq100f<44.$ Therefore $\lfloor100r\rfloor=700+43=743.$

7.

Halla $A^2,$ donde $A$ es la suma de los valores absolutos de todas las raíces de la siguiente ecuación:

x=\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{x}}}}}.

Find $A^2,$ where $A$ is the sum of the absolute values of all roots of the following equation:

x=\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{x}}}}}.

Respuesta

Conceptos:fracción continua función cuadrática

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Define $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t}$ ; la ecuación dice que al aplicar $f$ cinco veces se vuelve a obtener $x$

Define $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t}$ ; the equation says that $f$ applied five times returns $x$

Pista grande:

Usa los dos puntos fijos de $f$ y sigue la razón $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}$

Use the two fixed points of $f$ and track the ratio $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}$

Solución:

Sea $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t},$ y sean $\alpha>0>\beta$ sus puntos fijos. Estos satisfacen $t^2-\sqrt{19}\,t-91=0.$ Una resta directa usando $91=\alpha(\alpha-\sqrt{19})=\beta(\beta-\sqrt{19})$ da $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}=\frac{\beta}{\alpha}\,\frac{t-\alpha}{t-\beta}.$ La ecuación dada es $f^5(x)=x.$ Si $x$ no fuera ni $\alpha$ ni $\beta,$ iterar cinco veces la razón mostrada obligaría a que $(\frac{\beta}{\alpha})^5=1,$ lo cual es imposible porque $\frac{\beta}{\alpha}<0.$ Por lo tanto, las únicas raíces son $\alpha$ y $\beta.$

La suma de sus valores absolutos es $\alpha-\beta,$ la diferencia entre las raíces de la ecuación cuadrática. Por lo tanto, $A=\sqrt{(\sqrt{19})^2+4(91)}=\sqrt{383},$ así que $A^2=383.$

Let $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t},$ and let $\alpha>0>\beta$ be its fixed points. They satisfy $t^2-\sqrt{19}\,t-91=0.$ A direct subtraction using $91=\alpha(\alpha-\sqrt{19})=\beta(\beta-\sqrt{19})$ gives $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}=\frac{\beta}{\alpha}\,\frac{t-\alpha}{t-\beta}.$ The given equation is $f^5(x)=x.$ If $x$ were neither $\alpha$ nor $\beta,$ iterating the displayed ratio five times would force $(\frac{\beta}{\alpha})^5=1,$ which is impossible because $\frac{\beta}{\alpha}<0.$ Thus the only roots are $\alpha$ and $\beta.$

Their absolute values sum to $\alpha-\beta,$ the difference of the roots of the quadratic. Hence $A=\sqrt{(\sqrt{19})^2+4(91)}=\sqrt{383},$ so $A^2=383.$

8.

¿Para cuántos números reales $a$ tiene la ecuación cuadrática $x^2+ax+6a=0$ únicamente raíces enteras en $x$ ?

For how many real numbers $a$ does the quadratic equation $x^2+ax+6a=0$ have only integer roots for $x?$

Respuesta

Conceptos:Ecuación diofántica Fórmulas de Vieta factorización

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sean $r$ y $s$ las dos raíces enteras, y elimina $a$ usando las fórmulas de Vieta

Let the two integer roots be $r$ and $s$ , and eliminate $a$ using Vieta’s formulas

Pista grande:

Después de obtener $rs=-6(r+s)$ , completa un producto

Complete a product after obtaining $rs=-6(r+s)$

Solución:

Sean $r$ y $s$ las raíces enteras. Las fórmulas de Vieta dan $r+s=-a$ y $rs=6a,$ así que $rs=-6(r+s).$ Por lo tanto, $(r+6)(s+6)=36.$ Recíprocamente, cada factorización entera ordenada $uv=36$ produce las raíces enteras $r=u-6,$ $s=v-6,$ y el valor $a=12-u-v.$ Las parejas no ordenadas de factores positivos de $36$ tienen sumas $37,$ $20,$ $15,$ $13,$ $12,$ y las parejas negativas correspondientes tienen como sumas los opuestos de estos números. Estas diez sumas son distintas, por lo que dan $10$ valores distintos de $a.$

Let the integer roots be $r$ and $s.$ Vieta’s formulas give $r+s=-a$ and $rs=6a,$ so $rs=-6(r+s).$ Therefore $(r+6)(s+6)=36.$ Conversely, every ordered integer factorization $uv=36$ gives integer roots $r=u-6,$ $s=v-6,$ and $a=12-u-v.$ Unordered positive factor pairs of $36$ have sums $37,$ $20,$ $15,$ $13,$ $12,$ and the corresponding negative factor pairs have their negatives as sums. These ten sums are distinct, so they give $10$ distinct values of $a.$

9.

Supón que $\sec x+\tan x=\frac{22}{7}$ y que $\csc x+\cot x=\frac{m}{n},$ donde $\frac{m}{n}$ está en su mínima expresión. Halla $m+n.$

Suppose that $\sec x+\tan x=\frac{22}{7}$ and that $\csc x+\cot x=\frac{m}{n},$ where $\frac{m}{n}$ is in lowest terms. Find $m+n.$

Respuesta

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Si $u=\sec x+\tan x$ , entonces $\sec x-\tan x=\frac{1}{u}$

If $u=\sec x+\tan x$ , then $\sec x-\tan x=\frac{1}{u}$

Pista grande:

Reescribe $\csc x+\cot x$ como $\frac{\sec x+1}{\tan x}$

Rewrite $\csc x+\cot x$ as $\frac{\sec x+1}{\tan x}$

Solución:

Sea $u=\sec x+\tan x=\frac{22}{7}.$ Como el producto de $\sec x+\tan x$ y $\sec x-\tan x$ es $1,$ $\begin{aligned}\sec x&=\frac{u+u^{-1}}2,\\\tan x&=\frac{u-u^{-1}}2.\end{aligned}$ Además, $\begin{aligned}\csc x+\cot x&=\frac{1+\cos x}{\sin x}\\&=\frac{\sec x+1}{\tan x}\\&=\frac{u+1}{u-1}.\end{aligned}$ Al sustituir $u=\frac{22}{7}$ se obtiene $\frac{29}{15}.$ Así, $m+n=29+15=44.$

Let $u=\sec x+\tan x=\frac{22}{7}.$ Since $\sec x+\tan x$ and $\sec x-\tan x$ have product $1,$ $\begin{aligned}\sec x&=\frac{u+u^{-1}}2,\\\tan x&=\frac{u-u^{-1}}2.\end{aligned}$ Also $\begin{aligned}\csc x+\cot x&=\frac{1+\cos x}{\sin x}\\&=\frac{\sec x+1}{\tan x}\\&=\frac{u+1}{u-1}.\end{aligned}$ Substituting $u=\frac{22}{7}$ gives $\frac{29}{15}.$ Thus $m+n=29+15=44.$

10.

Dos cadenas de tres letras, $aaa$ y $bbb,$ se transmiten electrónicamente. Cada cadena se envía letra por letra. Debido a una falla del equipo, cada una de las seis letras tiene una probabilidad de $\frac{1}{3}$ de recibirse incorrectamente: como $a$ cuando debía ser $b,$ o como $b$ cuando debía ser $a.$ Sin embargo, que una letra dada se reciba correcta o incorrectamente es independiente de la recepción de cualquier otra letra.

Sea $S_a$ la cadena de tres letras que se recibe cuando se transmite $aaa$ , y sea $S_b$ la cadena de tres letras que se recibe cuando se transmite $bbb$ . Sea $p$ la probabilidad de que $S_a$ aparezca antes que $S_b$ en orden alfabético. Cuando $p$ se escribe como una fracción en su mínima expresión, ¿cuál es su numerador?

Two three-letter strings, $aaa$ and $bbb,$ are transmitted electronically. Each string is sent letter by letter. Due to faulty equipment, each of the six letters has a $\frac{1}{3}$ chance of being received incorrectly, as an $a$ when it should have been a $b,$ or as a $b$ when it should be an $a.$ However, whether a given letter is received correctly or incorrectly is independent of the reception of any other letter.

Let $S_a$ be the three-letter string received when $aaa$ is transmitted and let $S_b$ be the three-letter string received when $bbb$ is transmitted. Let $p$ be the probability that $S_a$ comes before $S_b$ in alphabetical order. When $p$ is written as a fraction in lowest terms, what is its numerator?

Respuesta

Conceptos:eventos independientes sucesión geométrica probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

El orden se decide en la primera posición en la que difieren las dos cadenas recibidas

The ordering is decided at the first position where the two received strings differ

Pista grande:

En una posición, calcula las probabilidades de que las letras coincidan y de que se reciba $a$ en $S_a$ y $b$ en $S_b$

At one position, compute the probabilities of equality and of receiving $a$ in $S_a$ and $b$ in $S_b$

Solución:

En cualquier posición, las letras recibidas coinciden con probabilidad $2\left(\frac23\right)\left(\frac13\right)=\frac49.$ La primera diferencia favorable, que $S_a$ reciba $a$ y $S_b$ reciba $b,$ tiene probabilidad $(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}.$ Puede ocurrir en la primera, segunda o tercera posición después de cero, una o dos coincidencias. Por tanto, $\begin{aligned}p&=\frac49\left(1+\frac49+\left(\frac49\right)^2\right)\\&=\frac{532}{729}.\end{aligned}$ Esta fracción está en su mínima expresión, así que su numerador es $532.$

At any position, the received letters agree with probability $2\left(\frac23\right)\left(\frac13\right)=\frac49.$ The favorable first difference, $S_a$ receiving $a$ and $S_b$ receiving $b,$ has probability $(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}.$ It can occur in the first, second, or third position after zero, one, or two agreements. Hence $\begin{aligned}p&=\frac49\left(1+\frac49+\left(\frac49\right)^2\right)\\&=\frac{532}{729}.\end{aligned}$ This fraction is in lowest terms, so its numerator is $532.$

11.

Se colocan doce discos congruentes sobre un círculo $C$ de radio $1$ , de modo que los doce discos cubran $C,$ que ningún par de discos se superponga y que cada uno de los doce discos sea tangente a sus dos vecinos. La disposición resultante se muestra en la figura. La suma de las áreas de los doce discos se puede escribir en la forma $\pi(a-b\sqrt c),$ donde $a,$ $b,$ $c$ son enteros positivos y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a+b+c.$

Twelve congruent disks are placed on a circle $C$ of radius $1$ in such a way that the twelve disks cover $C,$ no two of the disks overlap, and so that each of the twelve disks is tangent to its two neighbors. The resulting arrangement of disks is shown in the figure below. The sum of the areas of the twelve disks can be written in the form $\pi(a-b\sqrt c),$ where $a,$ $b,$ $c$ are positive integers and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a+b+c.$

Respuesta

Conceptos:círculo circunferencias tangentes triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Une el centro de $C$ con los centros y el punto de tangencia de dos discos vecinos

Join the center of $C$ to the centers and tangency point of two neighboring disks

Pista grande:

El triángulo rectángulo resultante tiene un ángulo de $15^\circ$ , cateto adyacente $1$ y cateto opuesto igual al radio de un disco

The resulting right triangle has angle $15^\circ$ , adjacent leg $1$ , and opposite leg equal to a disk radius

Solución:

Sea $O$ el centro de $C,$ sean $U$ y $V$ los centros de dos discos vecinos, y sea $T$ su punto de tangencia. Por la simetría de orden $12,$ $\angle UOV=30^\circ,$ y $OT$ biseca ese ángulo. Además, $T$ es el punto medio de $\overline{UV},$ por lo que el triángulo $OUT$ es rectángulo en $T.$ Como $T$ pertenece a $C,$ $OT=1,$ mientras que $UT$ es el radio $r$ de un disco. Así, $r=\tan15^\circ=2-\sqrt3.$ El área total es $\begin{aligned}12\pi r^2&=12\pi(7-4\sqrt3)\\&=\pi(84-48\sqrt3).\end{aligned}$ Por lo tanto, $a+b+c=84+48+3=135.$

Let $O$ be the center of $C,$ let $U$ and $V$ be the centers of two neighboring disks, and let $T$ be their tangency point. By the $12$ -fold symmetry, $\angle UOV=30^\circ,$ and $OT$ bisects that angle. Also $T$ is the midpoint of $\overline{UV},$ so triangle $OUT$ is right at $T.$ Since $T$ lies on $C,$ $OT=1,$ while $UT$ is the disk radius $r.$ Thus $r=\tan15^\circ=2-\sqrt3.$ The total area is $\begin{aligned}12\pi r^2&=12\pi(7-4\sqrt3)\\&=\pi(84-48\sqrt3).\end{aligned}$ Therefore $a+b+c=84+48+3=135.$

12.

El rombo $PQRS$ está inscrito en el rectángulo $ABCD$ de modo que los vértices $P,$ $Q,$ $R,$ y $S$ son puntos interiores de los lados $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ y $\overline{DA},$ respectivamente. Se sabe que $PB=15,$ $BQ=20,$ $PR=30,$ y $QS=40.$ Sea $\frac{m}{n},$ en su mínima expresión, el perímetro de $ABCD.$ Halla $m+n.$

Rhombus $PQRS$ is inscribed in rectangle $ABCD$ so that vertices $P,$ $Q,$ $R,$ and $S$ are interior points on sides $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{DA},$ respectively. It is given that $PB=15,$ $BQ=20,$ $PR=30,$ and $QS=40.$ Let $\frac{m}{n},$ in lowest terms, denote the perimeter of $ABCD.$ Find $m+n.$

Respuesta

Conceptos:rombo geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

El centro del rombo también es el centro del rectángulo, y las semidiagonales del rombo tienen longitudes $15$ y $20$

The center of the rhombus is also the center of the rectangle, and its half-diagonals have lengths $15$ and $20$

Pista grande:

Usa coordenadas para $P$ y $Q$ ; los vectores desde el centro común hasta esos puntos son perpendiculares

Use coordinates for $P$ and $Q$ ; their vectors from the common center are perpendicular

Solución:

Sea $w$ el ancho del rectángulo y $h$ su altura, con $A=(0,0)$ y $B=(w,0).$ Entonces $P=(w-15,0)$ y $Q=(w,20).$ Las diagonales del rombo se bisecan en el centro del rectángulo $O=(\frac{w}{2},\frac{h}{2}).$ Define $p=\overrightarrow{OP}=(\frac{w}{2}-15,-\frac{h}{2}).$ Como $OP=15,$ $OQ=20,$ y las diagonales del rombo son perpendiculares, mientras que $\overrightarrow{PQ}=(15,20),$ se tiene $\begin{aligned}|p|&=15,\\p\mathbin{\cdot}(15,20)&=-225.\end{aligned}$ Al resolver estas dos ecuaciones, teniendo en cuenta que la segunda coordenada es negativa porque $h>0,$ se obtiene $p=(\frac{21}{5},-\frac{72}{5}).$ Por consiguiente, $\begin{aligned}w&=2\left(15+\frac{21}{5}\right)=\frac{192}{5},\\h&=\frac{144}{5}.\end{aligned}$ El perímetro es $2(w+h)=\frac{672}{5},$ así que $m+n=672+5=677.$

Let the rectangle have width $w$ and height $h,$ with $A=(0,0)$ and $B=(w,0).$ Then $P=(w-15,0)$ and $Q=(w,20).$ The diagonals of the rhombus bisect each other at the rectangle’s center $O=(\frac{w}{2},\frac{h}{2}).$ Put $p=\overrightarrow{OP}=(\frac{w}{2}-15,-\frac{h}{2}).$ Since $OP=15,$ $OQ=20,$ and the rhombus diagonals are perpendicular, while $\overrightarrow{PQ}=(15,20),$ we have $\begin{aligned}|p|&=15,\\p\mathbin{\cdot}(15,20)&=-225.\end{aligned}$ Solving these two equations, with the second coordinate negative because $h>0,$ gives $p=(\frac{21}{5},-\frac{72}{5}).$ Hence $\begin{aligned}w&=2\left(15+\frac{21}{5}\right)=\frac{192}{5},\\h&=\frac{144}{5}.\end{aligned}$ The perimeter is $2(w+h)=\frac{672}{5},$ so $m+n=672+5=677.$

13.

Un cajón contiene una mezcla de calcetines rojos y azules, a lo sumo $1991$ en total. Al elegir al azar dos calcetines sin reemplazo, la probabilidad de que ambos sean rojos o ambos sean azules es exactamente $\frac{1}{2}$ . ¿Cuál es el mayor número posible de calcetines rojos en el cajón que es compatible con estos datos?

A drawer contains a mixture of red socks and blue socks, at most $1991$ in all. It so happens that, when two socks are selected randomly without replacement, there is a probability of exactly $\frac{1}{2}$ that both are red or both are blue. What is the largest possible number of red socks in the drawer that is consistent with this data?

Respuesta

Conceptos:muestreo sin reemplazo cuadrado perfecto optimización

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Si hay $r$ calcetines rojos y $b$ azules, es equivalente exigir que la probabilidad de sacar uno de cada color sea $\frac{1}{2}$

If there are $r$ red and $b$ blue socks, it is equivalent to require probability $\frac{1}{2}$ of drawing one of each color

Pista grande:

Usa $n=r+b$ y $d=r-b$ para convertir la ecuación de probabilidad en una condición de cuadrado perfecto

Use $n=r+b$ and $d=r-b$ to turn the probability equation into a square condition

Solución:

Sean $r$ y $b$ las cantidades de calcetines de los dos colores, y sea $n=r+b.$ La probabilidad de sacar colores distintos también es $\frac{1}{2},$ por lo que $\begin{aligned}\frac{rb}{\binom n2}&=\frac12,\\4rb&=n(n-1).\end{aligned}$ Como $4rb=(r+b)^2-(r-b)^2,$ esto se convierte en $(r-b)^2=n.$ Por tanto, $n=k^2$ y, tomando el rojo como el color más numeroso, $r=\frac{k^2+k}{2}.$ El mayor cuadrado que no supera $1991$ es $44^2=1936,$ lo que da $r=\frac{1936+44}{2}=990.$

Let $r$ and $b$ be the two color counts and $n=r+b.$ The probability of drawing different colors is also $\frac{1}{2},$ so $\begin{aligned}\frac{rb}{\binom n2}&=\frac12,\\4rb&=n(n-1).\end{aligned}$ Since $4rb=(r+b)^2-(r-b)^2,$ this becomes $(r-b)^2=n.$ Thus $n=k^2$ and, choosing red as the more numerous color, $r=\frac{k^2+k}{2}.$ The largest square at most $1991$ is $44^2=1936,$ giving $r=\frac{1936+44}{2}=990.$

14.

Un hexágono está inscrito en un círculo. Cinco de sus lados tienen longitud $81$ , y el sexto, denotado por $\overline{AB},$ tiene longitud $31.$ Halla la suma de las longitudes de las tres diagonales que se pueden trazar desde $A.$

A hexagon is inscribed in a circle. Five of the sides have length $81$ and the sixth, denoted by $\overline{AB},$ has length $31.$ Find the sum of the lengths of the three diagonals that can be drawn from $A.$

Respuesta

Conceptos:cuerda identidad trigonométrica trigonometría

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Sea $2u$ el ángulo central subtendido por cada lado de longitud $81$ , y sea $t=2\cos u$

Let $2u$ be the central angle subtended by each side of length $81$ , and set $t=2\cos u$

Pista grande:

Expresa $\frac{\sin(5u)}{\sin u}$ y las tres razones de las diagonales en términos de $t$

Express $\frac{\sin(5u)}{\sin u}$ and the three diagonal ratios in terms of $t$

Solución:

Sea $2u$ el ángulo central subtendido por cada lado de longitud $81$ , y sea $t=2\cos u.$ El arco restante tiene semiángulo $\pi-5u,$ por lo que la razón entre las cuerdas da $\begin{aligned}\frac{31}{81}&=\frac{\sin5u}{\sin u}\\&=t^4-3t^2+1.\end{aligned}$ Esto produce $t^2=\frac{25}{9}$ o $\frac{2}{9}.$ Como $5u<\pi,$ se tiene $t>2\cos36^\circ,$ así que $t=\frac{5}{3}.$

Las tres diagonales desde $A$ subtienen los mismos ángulos menores que $2u,$ $3u,$ y $4u.$ Con respecto a un lado de longitud $81$ , sus razones de longitud son $\begin{aligned}\frac{\sin2u}{\sin u}&=t,\\\frac{\sin3u}{\sin u}&=t^2-1,\\\frac{\sin4u}{\sin u}&=t^3-2t.\end{aligned}$ Por consiguiente, su suma es $\begin{aligned}81(t^3+t^2-t-1)&=81\left(\frac{128}{27}\right)\\&=384.\end{aligned}$

Let $2u$ be the central angle subtended by each $81$ -side, and put $t=2\cos u.$ The remaining arc has half-angle $\pi-5u,$ so the chord ratio gives $\begin{aligned}\frac{31}{81}&=\frac{\sin5u}{\sin u}\\&=t^4-3t^2+1.\end{aligned}$ This yields $t^2=\frac{25}{9}$ or $\frac{2}{9}.$ Because $5u<\pi,$ we have $t>2\cos36^\circ,$ so $t=\frac{5}{3}.$

The three diagonals from $A$ subtend the same minor angles as $2u,$ $3u,$ and $4u.$ Relative to an $81$ -side, their length ratios are $\begin{aligned}\frac{\sin2u}{\sin u}&=t,\\\frac{\sin3u}{\sin u}&=t^2-1,\\\frac{\sin4u}{\sin u}&=t^3-2t.\end{aligned}$ Their sum is therefore $\begin{aligned}81(t^3+t^2-t-1)&=81\left(\frac{128}{27}\right)\\&=384.\end{aligned}$

15.

Para un entero positivo $n,$ define $S_n$ como el valor mínimo de la suma $\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2},$ donde $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_n$ son números reales positivos cuya suma es $17.$ Hay un único entero positivo $n$ para el cual $S_n$ también es entero. Halla este $n.$

For positive integer $n,$ define $S_n$ to be the minimum value of the sum $\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2},$ where $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_n$ are positive real numbers whose sum is $17.$ There is a unique positive integer $n$ for which $S_n$ is also an integer. Find this $n.$

Respuesta

Conceptos:desigualdad triangular vector diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Interpreta cada radical como la longitud de un vector $(2k-1,a_k)$ y aplica la desigualdad triangular

Interpret each radical as the length of a vector $(2k-1,a_k)$ and apply the triangle inequality

Pista grande:

Después de hallar $S_n$ , factoriza la diferencia de cuadrados que resulta de exigir que sea entero

After finding $S_n$ , factor the difference of two squares that results from requiring it to be an integer

Solución:

Las sumas de las dos componentes son $\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2$ y $\sum_{k=1}^na_k=17.$ Por lo tanto, la desigualdad triangular para vectores da $\begin{aligned}&\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2}\\&\quad\geq\sqrt{(n^2)^2+17^2}\\&\quad=\sqrt{n^4+289}.\end{aligned}$ La igualdad se alcanza tomando $a_k$ proporcional a $2k-1,$ por lo que $S_n=\sqrt{n^4+289}.$

Si este valor es el entero $m,$ entonces $(m-n^2)(m+n^2)=289=17^2.$ La pareja de factores $17,17$ da $n=0,$ mientras que la pareja $1,289$ da $m=145$ y $n^2=144.$ Así, el único $n$ positivo es $12.$

The two component sums are $\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2$ and $\sum_{k=1}^na_k=17.$ Therefore the triangle inequality for vectors gives $\begin{aligned}&\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2}\\&\quad\geq\sqrt{(n^2)^2+17^2}\\&\quad=\sqrt{n^4+289}.\end{aligned}$ Equality is attainable by taking $a_k$ proportional to $2k-1,$ so $S_n=\sqrt{n^4+289}.$

If this is the integer $m,$ then $(m-n^2)(m+n^2)=289=17^2.$ The factor pair $17,17$ gives $n=0,$ while the pair $1,289$ gives $m=145$ and $n^2=144.$ Thus the unique positive $n$ is $12.$