Question

Una bióloga quiere calcular el número de peces de un lago. El $1$ de mayo captura una muestra aleatoria de $60$ peces, los marca y los suelta. El $1$ de septiembre captura una muestra aleatoria de $70$ peces y descubre que $3$ están marcados. Para calcular el número de peces que había en el lago el $1$ de mayo, supone que el $25\%$ de esos peces ya no está en el lago el $1$ de septiembre (por muertes y emigraciones), que el $40\%$ de los peces no estaba en el lago el $1$ de mayo (por nacimientos e inmigraciones), y que las cantidades de peces sin marca y con marca de la muestra del $1$ de septiembre son representativas de la población total. ¿Qué número de peces calcula la bióloga que había en el lago el $1$ de mayo?

A biologist wants to calculate the number of fish in a lake. On May $1$ she catches a random sample of $60$ fish, tags them, and releases them. On September $1$ she catches a random sample of $70$ fish and finds that $3$ of them are tagged. To calculate the number of fish in the lake on May $1,$ she assumes that $25\%$ of these fish are no longer in the lake on September $1$ (because of death and emigrations), that $40\%$ of the fish were not in the lake May $1$ (because of births and immigrations), and that the number of untagged fish and tagged fish in the September $1$ sample are representative of the total population. What does the biologist calculate for the number of fish in the lake on May $1?$

Respuesta

Respuesta: 840

Conceptos:porcentaje razón y proporción muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Determina primero cuántos de los peces marcados originalmente permanecen en septiembre

First determine how many of the original tagged fish remain in September

Pista grande:

Usa la fracción marcada de la muestra para estimar la población de septiembre y luego identifica el $60\%$ que estaba presente en mayo

Use the sample’s tagged fraction to estimate the September population, then identify the $60\%$ that were present in May

Solución:

De los $60$ peces marcados, el $75\%$ permanece en septiembre, de modo que quedan $45$ peces marcados. La muestra estima que los peces marcados constituyen $\frac{3}{70}$ de la población de septiembre, por lo que esa población es $45\left(\frac{70}{3}\right)=1050.$ De esos peces, el $60\%$ estaba presente en mayo, así que quedan $630$ peces supervivientes de mayo. Estos representan el $75\%$ de la población de mayo. Por lo tanto, la población estimada de mayo es $\frac{630}{0.75}=840.$

Of the $60$ tagged fish, $75\%$ remain in September, so $45$ tagged fish remain. The sample estimates that tagged fish form $\frac{3}{70}$ of the September population, making that population $45\left(\frac{70}{3}\right)=1050.$ Of those fish, $60\%$ were present in May, so $630$ surviving May fish remain. These are $75\%$ of the May population. Thus the estimated May population is $\frac{630}{0.75}=840.$

1990 AIME Problema 6

Respuesta: 840

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años