Question

Sea $a_n=6^n+8^n.$ Determina el residuo al dividir $a_{83}$ entre $49.$

Let $a_n=6^n+8^n.$ Determine the remainder on dividing $a_{83}$ by $49.$

Respuesta

Respuesta: 35

Conceptos:teorema del binomio aritmética modular exponenciación modular

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Escribe $6=7-1$ y $8=7+1$

Write $6=7-1$ and $8=7+1$

Pista grande:

Módulo $49,$ solo sobreviven los términos constante y lineal de cada expansión binomial

Modulo $49,$ only the constant and linear terms of each binomial expansion survive

Solución:

Módulo $49,$ se anula todo término binomial que contenga $7^2$ . Como $83$ es impar, $6^{83}=(7-1)^{83}\equiv -1+83\cdot7$ y $8^{83}=(7+1)^{83}\equiv 1+83\cdot7.$ Su suma es congruente con $166\cdot7=1162\equiv35\pmod{49}.$

Modulo $49,$ every binomial term containing $7^2$ vanishes. Since $83$ is odd, $6^{83}=(7-1)^{83}\equiv -1+83\cdot7$ and $8^{83}=(7+1)^{83}\equiv 1+83\cdot7.$ Their sum is congruent to $166\cdot7=1162\equiv35\pmod{49}.$

1983 AIME Problema 6

Respuesta: 35

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años