Question

Supón que la suma de los cuadrados de dos números complejos $x$ y $y$ es $7$ , y la suma de sus cubos es $10.$ ¿Cuál es el mayor valor real que puede tomar $x+y$ ?

Suppose that the sum of the squares of two complex numbers $x$ and $y$ is $7$ and the sum of the cubes is $10.$ What is the largest real value that $x+y$ can have?

Respuesta

Respuesta: 4

Conceptos:número complejo simetría (álgebra)factorización

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Sea $s=x+y$ y $p=xy$

Let $s=x+y$ and $p=xy$

Pista grande:

Usa $x^2+y^2=s^2-2p$ para eliminar $p$ de $x^3+y^3=s^3-3ps$

Use $x^2+y^2=s^2-2p$ to eliminate $p$ from $x^3+y^3=s^3-3ps$

Solución:

Sean $s=x+y$ y $p=xy.$ De $x^2+y^2=s^2-2p=7,$ obtenemos $p=\frac{s^2-7}{2}.$ Además, $\begin{aligned} 10&=x^3+y^3\\ &=s^3-3ps\\ &=s^3-\frac{3s(s^2-7)}2. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned} s^3-21s+20&=0,\\ (s-1)(s-4)(s+5)&=0. \end{aligned}$ Cada raíz produce un posible par de raíces complejas de $t^2-st+p=0,$ así que el mayor valor real posible de $s=x+y$ es $4.$

Let $s=x+y$ and $p=xy.$ From $x^2+y^2=s^2-2p=7,$ we get $p=\frac{s^2-7}{2}.$ Also, $\begin{aligned} 10&=x^3+y^3\\ &=s^3-3ps\\ &=s^3-\frac{3s(s^2-7)}2. \end{aligned}$ Hence $\begin{aligned} s^3-21s+20&=0,\\ (s-1)(s-4)(s+5)&=0. \end{aligned}$ Each root gives a possible pair of complex roots of $t^2-st+p=0,$ so the largest real possible value of $s=x+y$ is $4.$

1983 AIME Problema 5

Respuesta: 4

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años