Question

Sea $S$ el conjunto de todos los números racionales $r,$ con $0\lt r\lt1,$ que tienen una expansión decimal periódica de la forma $0.abcabcabc\ldots=0.\overline{abc},$ donde las cifras $a,$ $b$ y $c$ no son necesariamente distintas. Para escribir los elementos de $S$ como fracciones en su mínima expresión, ¿cuántos numeradores distintos se necesitan?

Let $S$ be the set of all rational numbers $r,$ $0\lt r\lt1,$ that have a repeating decimal expansion in the form $0.abcabcabc\ldots=0.\overline{abc},$ where the digits $a,$ $b,$ and $c$ are not necessarily distinct. To write the elements of $S$ as fractions in lowest terms, how many different numerators are required?

Respuesta

Respuesta: 660

Conceptos:decimal periódico máximo común divisor Función φ de Euler

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Cada elemento tiene la forma $\frac{N}{999}$ , y su denominador reducido debe dividir a $999=3^3\cdot37$

Every element has the form $\frac{N}{999}$ , and its reduced denominator must divide $999=3^3\cdot37$

Pista grande:

Cuenta los numeradores coprimos con $999$ y luego determina qué múltiplos adicionales de $3$ pueden aparecer con denominador $37$

Count numerators coprime to $999$ , then check which additional multiples of $3$ can occur with denominator $37$

Solución:

Cada elemento es $\frac{N}{999}$ para $1\leq N\leq998.$ Cualquier $a$ coprimo con $999$ aparece como numerador reducido con denominador $999,$ lo que da $\varphi(999)=648$ valores. Si $a$ es divisible por $3$ pero no por $37,$ solo puede ser coprimo con un denominador reducido cuando este es $37;$ esto añade los $12$ múltiplos de $3$ menores que $37.$ Un numerador divisible por $37$ necesitaría un denominador que dividiera a $27$ y fuera mayor que él, así que no aparecen más valores. Por lo tanto, el total es $648+12=660.$

Every element is $\frac{N}{999}$ for $1\leq N\leq998.$ Any $a$ coprime to $999$ occurs as a reduced numerator with denominator $999,$ giving $\varphi(999)=648$ values. If $a$ is divisible by $3$ but not $37,$ it can be coprime to a reduced denominator only when that denominator is $37;$ this adds the $12$ multiples of $3$ below $37.$ A numerator divisible by $37$ would need a denominator dividing $27$ and larger than it, so no further values occur. Therefore the total is $648+12=660.$

1992 AIME Problema 5

Respuesta: 660

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años