Question

Determina el valor de $ab$ si $\log_8a+\log_4b^2=5$ y $\log_8b+\log_4a^2=7.$

Determine the value of $ab$ if $\log_8a+\log_4b^2=5$ and $\log_8b+\log_4a^2=7.$

Respuesta

Respuesta: 512

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Expresa todos los logaritmos en base $2$

Express every logarithm using base $2$

Pista grande:

Haz $A=\log_2a$ y $B=\log_2b$ para obtener un sistema lineal

Set $A=\log_2a$ and $B=\log_2b$ to obtain a linear system

Solución:

Sean $A=\log_2a$ y $B=\log_2b.$ Las dos ecuaciones se convierten en $\frac A3+B=5,\qquad \frac B3+A=7.$ De manera equivalente, $A+3B=15$ y $3A+B=21,$ de donde $A=6$ y $B=3.$ Por lo tanto, $ab=2^{A+B}=2^9=512.$

Let $A=\log_2a$ and $B=\log_2b.$ The two equations become $\frac A3+B=5,\qquad \frac B3+A=7.$ Equivalently, $A+3B=15$ and $3A+B=21,$ which give $A=6$ and $B=3.$ Therefore $ab=2^{A+B}=2^9=512.$

1984 AIME Problema 5

Respuesta: 512

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años