Question

Halla $3x^2y^2$ si $x$ y $y$ son enteros tales que $y^2+3x^2y^2=30x^2+517.$

Find $3x^2y^2$ if $x$ and $y$ are integers such that $y^2+3x^2y^2=30x^2+517.$

Respuesta

Respuesta: 588

Conceptos:factorización Ecuación diofántica divisibilidad

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Traslada un múltiplo adecuado de $3x^2+1$ para formar un producto

Move a suitable multiple of $3x^2+1$ to create a product

Pista grande:

Factoriza $507$ y usa que $3x^2+1\equiv1\pmod3$

Factor $507$ and use that $3x^2+1\equiv1\pmod3$

Solución:

Al reordenar se obtiene $(3x^2+1)(y^2-10)=507,$ donde $507=3\cdot13^2.$ Los divisores positivos de $507$ congruentes con $1\pmod3$ son $1,$ $13,$ $169.$ Si $3x^2+1=1,$ entonces $x^2=0$ pero $y^2=517,$ que no es un cuadrado. Si $3x^2+1=13,$ entonces $x^2=4$ y $y^2=49.$ Por último, $3x^2+1=169$ da $x^2=56,$ que no es un cuadrado. Por tanto, $3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=588.$

Rearranging gives $(3x^2+1)(y^2-10)=507,$ where $507=3\cdot13^2.$ The positive divisors of $507$ congruent to $1\pmod3$ are $1,$ $13,$ $169.$ If $3x^2+1=1,$ then $x^2=0$ but $y^2=517,$ which is not a square. If $3x^2+1=13,$ then $x^2=4$ and $y^2=49.$ Finally, $3x^2+1=169$ gives $x^2=56,$ not a square. Therefore $3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=588.$

1987 AIME Problema 5

Respuesta: 588

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años