Question

Dado un entero positivo $n,$ sea $p(n)$ el producto de las cifras no nulas de $n.$ (Si $n$ tiene una sola cifra, entonces $p(n)$ es igual a esa cifra). Sea $\begin{aligned}S&=p(1)+p(2)+p(3)\\&\quad+\cdots+p(999).\end{aligned}$ ¿Cuál es el mayor factor primo de $S$ ?

Given a positive integer $n,$ let $p(n)$ be the product of the nonzero digits of $n.$ (If $n$ has only one digit, then $p(n)$ is equal to that digit.) Let $\begin{aligned}S&=p(1)+p(2)+p(3)\\&\quad+\cdots+p(999).\end{aligned}$ What is the largest prime factor of $S?$

Respuesta

Respuesta: 103

Conceptos:dígitos principio de multiplicación factorización en primos

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Escribe con tres cifras cada número desde $000$ hasta $999$ y haz que una cifra cero aporte un factor de $1$

Write every number from $000$ through $999$ using three digits and let a zero digit contribute a factor of $1$

Pista grande:

La suma se factoriza por posiciones decimales; recuerda quitar la contribución de $000$

The sum factors by digit position; remember to remove the contribution of $000$

Solución:

Para una posición decimal, la suma de sus factores efectivos es $1+1+2+\cdots+9=46,$ donde el primer $1$ representa la cifra $0.$ Por lo tanto, la suma desde $000$ hasta $999$ es $46^3.$ Al quitar la contribución artificial $1$ de $000$ se obtiene $\begin{aligned}S&=46^3-1\\&=45(46^2+46+1)\\&=45\cdot2163.\end{aligned}$ Como $2163=3\cdot721=3\cdot7\cdot103,$ el mayor factor primo es $103.$

For one digit position, the sum of its effective factors is $1+1+2+\cdots+9=46,$ where the first $1$ represents digit $0.$ Thus the sum over $000$ through $999$ is $46^3.$ Removing the artificial contribution $1$ from $000$ gives $\begin{aligned}S&=46^3-1\\&=45(46^2+46+1)\\&=45\cdot2163.\end{aligned}$ Since $2163=3\cdot721=3\cdot7\cdot103,$ the largest prime factor is $103.$

1994 AIME Problema 5

Respuesta: 103

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años