Question

Sea $\frac{m}{n},$ en términos irreducibles, la probabilidad de que un divisor positivo de $10^{99}$ , elegido al azar, sea un múltiplo entero de $10^{88}.$ Halla $m+n.$

Let $\frac{m}{n},$ in lowest terms, be the probability that a randomly chosen positive divisor of $10^{99}$ is an integer multiple of $10^{88}.$ Find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 634

Conceptos:conteo de factores probabilidad básica factorización en primos

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Escribe cada divisor como $2^a5^b$

Write every divisor as $2^a5^b$

Pista grande:

Cuenta los pares de exponentes con $a\geq88$ y $b\geq88$ , y reduce la probabilidad resultante

Count exponent pairs with $a\geq88$ and $b\geq88$ and reduce the resulting probability

Solución:

Todo divisor es $2^a5^b$ con $0\leq a\leq99$ y $0\leq b\leq99,$ así que hay $100^2=10000$ divisores. Un múltiplo de $10^{88}$ requiere $88\leq a\leq99$ y $88\leq b\leq99,$ lo que da $12^2=144$ divisores. La probabilidad es $\frac{144}{10000}=\frac{9}{625},$ y $m+n=9+625=634.$

Every divisor is $2^a5^b$ with $0\leq a\leq99$ and $0\leq b\leq99,$ so there are $100^2=10000$ divisors. A multiple of $10^{88}$ requires $88\leq a\leq99$ and $88\leq b\leq99,$ giving $12^2=144$ divisors. The probability is $\frac{144}{10000}=\frac{9}{625},$ and $m+n=9+625=634.$

1988 AIME Problema 5

Respuesta: 634

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años