Soluciones del 1988 AIME | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Una cerradura comercial de diez botones se abre al presionar, en cualquier orden, los cinco botones correctos. Un ejemplo tiene $\{1,2,3,6,9\}$ como combinación. Supón que estas cerraduras se rediseñan para permitir como combinaciones conjuntos de entre uno y nueve botones. ¿Cuántas combinaciones adicionales permitiría esto?

One commercially available ten-button lock may be opened by depressing—in any order—the correct five buttons. One sample has $\{1,2,3,6,9\}$ as its combination. Suppose that these locks are redesigned so that sets of as many as nine buttons or as few as one button could serve as combinations. How many additional combinations would this allow?

Respuesta

Conceptos:combinaciones subconjuntos conteo complementario

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Cuenta todos los subconjuntos propios no vacíos de los diez botones

Count all nonempty proper subsets of the ten buttons

Pista grande:

Resta las combinaciones de cinco botones que el diseño original ya permitía

Subtract the five-button combinations that the original design already allowed

Solución:

La cerradura rediseñada permite todo subconjunto no vacío salvo el conjunto completo, lo que da $2^{10}-2=1022$ combinaciones. La cerradura original permite $\binom{10}{5}=252.$ Por tanto, la cantidad de combinaciones adicionales es $1022-252=770.$

The redesigned lock permits every nonempty subset except the full set, giving $2^{10}-2=1022$ combinations. The original lock permits $\binom{10}{5}=252.$ Thus the number of additional combinations is $1022-252=770.$

2.

Para todo entero positivo $k,$ sea $f_1(k)$ el cuadrado de la suma de las cifras de $k.$ Para $n\geq2,$ sea $f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k)).$ Halla $f_{1988}(11).$

For any positive integer $k,$ let $f_1(k)$ denote the square of the sum of the digits of $k.$ For $n\geq2,$ let $f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k)).$ Find $f_{1988}(11).$

Respuesta

Conceptos:dígitos recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Calcula las primeras iteraciones hasta que se repita un valor

Compute the first several iterates until a value repeats

Pista grande:

Después de los valores transitorios, la sucesión alterna entre dos números

After the transient values, the sequence alternates between two numbers

Solución:

Las iteraciones comienzan con $4,$ $16,$ $49,$ $169,$ $256,$ seguidos por $169,$ $256,$ $\ldots.$ Por tanto, desde la cuarta iteración, los índices pares dan $169$ y los impares dan $256.$ Como $1988$ es par, $f_{1988}(11)=169.$

The iterates begin $4,$ $16,$ $49,$ $169,$ $256,$ followed by $169,$ $256,$ $\ldots.$ Thus from the fourth iterate onward, even indices give $169$ and odd indices give $256.$ Since $1988$ is even, $f_{1988}(11)=169.$

3.

Halla $(\log_2 x)^2$ si $\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x).$

Find $(\log_2 x)^2$ if $\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x).$

Respuesta

Conceptos:logaritmo sustitución manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sea $y=\log_2x$ y reescribe cada logaritmo en base $8$ usando la base $2$

Set $y=\log_2x$ and rewrite every base- $8$ logarithm in base $2$

Pista grande:

Resuelve la ecuación lineal resultante para $\log_2 y$

Solve the resulting linear equation for $\log_2 y$

Solución:

Sea $y=\log_2x\gt0.$ Como $\log_8x=\frac{y}{3},$ la ecuación se convierte en $\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y.$ Entonces $\frac23\log_2y=\log_23,$ así que $y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3.$ Por tanto, $(\log_2x)^2=y^2=27.$

Put $y=\log_2x\gt0.$ Since $\log_8x=\frac{y}{3},$ the equation becomes $\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y.$ Hence $\frac23\log_2y=\log_23,$ so $y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3.$ Therefore $(\log_2x)^2=y^2=27.$

4.

Supón que $|x_i|\lt1$ para $i=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ Supón además que

$\begin{aligned}&|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\&=19+\bigl|x_1+x_2\\&\qquad+\cdots+x_n\bigr|.\end{aligned}$

¿Cuál es el menor valor posible de $n$ ?

Suppose that $|x_i|\lt1$ for $i=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ Suppose further that

$\begin{aligned}&|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\&=19+\bigl|x_1+x_2\\&\qquad+\cdots+x_n\bigr|.\end{aligned}$

What is the smallest possible value of $n?$

Respuesta

Conceptos:valor absoluto desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Sea $P$ la suma de los términos positivos y $N$ la suma de los valores absolutos de los términos negativos

Let $P$ be the sum of the positive terms and $N$ the sum of the absolute values of the negative terms

Pista grande:

El lado izquierdo menos el último valor absoluto es igual a $2\min(P,N)$

The left side minus the final absolute value equals $2\min(P,N)$

Solución:

Sea $P$ la suma de los $x_i$ positivos y $N$ la suma de los valores absolutos de los términos negativos $x_i.$ Entonces $\begin{aligned}P+N-|P-N|&=2\min(P,N)\\&=19,\end{aligned}$ así que tanto $P$ como $N$ son al menos $9.5.$ Como todo $|x_i|\lt1,$ cada signo requiere al menos $10$ términos, lo que da $n\geq20.$ La igualdad se alcanza con diez términos iguales a $0.95$ y diez iguales a $-0.95,$ así que el mínimo es $20.$

Let $P$ be the sum of the positive $x_i$ and $N$ the sum of the absolute values of the negative $x_i.$ Then $\begin{aligned}P+N-|P-N|&=2\min(P,N)\\&=19,\end{aligned}$ so both $P$ and $N$ are at least $9.5.$ Because every $|x_i|\lt1,$ each sign requires at least $10$ terms, giving $n\geq20.$ Equality is attainable with ten terms equal to $0.95$ and ten equal to $-0.95,$ so the minimum is $20.$

5.

Sea $\frac{m}{n},$ en términos irreducibles, la probabilidad de que un divisor positivo de $10^{99}$ , elegido al azar, sea un múltiplo entero de $10^{88}.$ Halla $m+n.$

Let $\frac{m}{n},$ in lowest terms, be the probability that a randomly chosen positive divisor of $10^{99}$ is an integer multiple of $10^{88}.$ Find $m+n.$

Respuesta

Conceptos:conteo de factores probabilidad básica factorización en primos

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Escribe cada divisor como $2^a5^b$

Write every divisor as $2^a5^b$

Pista grande:

Cuenta los pares de exponentes con $a\geq88$ y $b\geq88$ , y reduce la probabilidad resultante

Count exponent pairs with $a\geq88$ and $b\geq88$ and reduce the resulting probability

Solución:

Todo divisor es $2^a5^b$ con $0\leq a\leq99$ y $0\leq b\leq99,$ así que hay $100^2=10000$ divisores. Un múltiplo de $10^{88}$ requiere $88\leq a\leq99$ y $88\leq b\leq99,$ lo que da $12^2=144$ divisores. La probabilidad es $\frac{144}{10000}=\frac{9}{625},$ y $m+n=9+625=634.$

Every divisor is $2^a5^b$ with $0\leq a\leq99$ and $0\leq b\leq99,$ so there are $100^2=10000$ divisors. A multiple of $10^{88}$ requires $88\leq a\leq99$ and $88\leq b\leq99,$ giving $12^2=144$ divisors. The probability is $\frac{144}{10000}=\frac{9}{625},$ and $m+n=9+625=634.$

6.

Es posible colocar enteros positivos en las veintiuna casillas vacías del cuadrado de $5\times5$ que se muestra, de modo que los números de cada fila y columna formen sucesiones aritméticas. Halla el número que debe ocupar la casilla vacía marcada con el asterisco $(*).$

It is possible to place positive integers into the vacant twenty-one squares of the $5\times5$ square shown below so that the numbers in each row and column form arithmetic sequences. Find the number that must occupy the vacant square marked by the asterisk $(*).$

Respuesta

Conceptos:sucesión aritmética reconocimiento de patrones sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Numera las filas y columnas desde $0$ hasta $4$

Index the rows and columns from $0$ through $4$

Pista grande:

Una cuadrícula en la que cada fila y columna es una sucesión aritmética tiene la forma $A+Bi+Cj+Dij$

A grid whose rows and columns are arithmetic has the form $A+Bi+Cj+Dij$

Solución:

Numera las filas y columnas de $0$ a $4.$ Las condiciones de filas y columnas dan la entrada general $A+Bi+Cj+Dij.$ Los cuatro valores mostrados producen $\begin{aligned}A+4B&=0,\\A+B+C+D&=74,\\A+2B+4C+8D&=186,\\A+3B+2C+6D&=103.\end{aligned}$ Al resolver se obtiene $A=52,$ $B=-13,$ $C=30,$ y $D=5.$ El asterisco está en $(i,j)=(0,3),$ así que su valor es $A+3C=52+90=142.$

Index rows and columns from $0$ to $4.$ The row and column conditions give the general entry $A+Bi+Cj+Dij.$ The four shown values yield $\begin{aligned}A+4B&=0,\\A+B+C+D&=74,\\A+2B+4C+8D&=186,\\A+3B+2C+6D&=103.\end{aligned}$ Solving gives $A=52,$ $B=-13,$ $C=30,$ and $D=5.$ The asterisk is at $(i,j)=(0,3),$ so its value is $A+3C=52+90=142.$

7.

En el triángulo $ABC,$ $\tan\angle CAB=\frac{22}{7},$ y la altura desde $A$ divide a $BC$ en segmentos de longitudes $3$ y $17.$ ¿Cuál es el área del triángulo $ABC$ ?

In triangle $ABC,$ $\tan\angle CAB=\frac{22}{7},$ and the altitude from $A$ divides $BC$ into segments of length $3$ and $17.$ What is the area of triangle $ABC?$

Respuesta

Conceptos:área del triángulo trigonometría vector

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Sea $h$ la longitud de la altura y sitúa su pie en el origen

Let the altitude have length $h$ and place its foot at the origin

Pista grande:

Usa el producto vectorial dividido por el producto escalar para expresar la tangente del ángulo entre los vectores que siguen los dos lados

Use cross product over dot product to express the tangent of the angle between the two side vectors

Solución:

Sea la longitud de la altura $h.$ Desde $A,$ pueden tomarse como vectores hacia los extremos de $BC$ a $(-3,-h)$ y $(17,-h).$ Por tanto, $\tan\angle CAB=\frac{20h}{h^2-51}=\frac{22}{7}.$ Así, $11h^2-70h-561=0,$ cuya raíz positiva es $h=11.$ Como $BC=3+17=20,$ el área es $\frac12(20)(11)=110.$

Let the altitude length be $h.$ From $A,$ vectors to the endpoints of $BC$ may be taken as $(-3,-h)$ and $(17,-h).$ Therefore $\tan\angle CAB=\frac{20h}{h^2-51}=\frac{22}{7}.$ Thus $11h^2-70h-561=0,$ whose positive root is $h=11.$ Since $BC=3+17=20,$ the area is $\frac12(20)(11)=110.$

8.

La función $f,$ definida sobre el conjunto de pares ordenados de enteros positivos, satisface las siguientes propiedades:

$\begin{gathered}f(x,x)=x,\\f(x,y)=f(y,x),\\(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y).\end{gathered}$

Calcula $f(14,52).$

The function $f,$ defined on the set of ordered pairs of positive integers, satisfies the following properties:

$\begin{gathered}f(x,x)=x,\\f(x,y)=f(y,x),\\(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y).\end{gathered}$

Calculate $f(14,52).$

Respuesta

Conceptos:ecuación funcional máximo común divisor mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Aplica la tercera propiedad a $(x,y-x)$ cuando $y\gt x$

Apply the third property to $(x,y-x)$ when $y\gt x$

Pista grande:

Compara la regla de resta resultante con la misma regla para $\operatorname{lcm}(x,y)$

Compare the resulting subtraction rule with the same rule for $\operatorname{lcm}(x,y)$

Solución:

Para $y\gt x,$ la tercera propiedad aplicada a $(x,y-x)$ da $f(x,y)=\frac{y}{y-x}f(x,y-x).$ El mínimo común múltiplo satisface la misma relación, porque $\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x).$ Por tanto, el cociente $\frac{f(x,y)}{\operatorname{lcm}(x,y)}$ no cambia en cada paso de resta del algoritmo de Euclides. En la diagonal es igual a $\frac{f(g,g)}{g}=1,$ así que $f(x,y)=\operatorname{lcm}(x,y).$ Por tanto, $\begin{aligned}f(14,52)&=\frac{14\cdot52}{\gcd(14,52)}\\&=364.\end{aligned}$

For $y\gt x,$ the third property applied to $(x,y-x)$ gives $f(x,y)=\frac{y}{y-x}f(x,y-x).$ The least common multiple obeys the identical relation, because $\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x).$ Hence the quotient $\frac{f(x,y)}{\operatorname{lcm}(x,y)}$ is unchanged by each subtraction step of the Euclidean algorithm. On the diagonal it equals $\frac{f(g,g)}{g}=1,$ so $f(x,y)=\operatorname{lcm}(x,y).$ Therefore $\begin{aligned}f(14,52)&=\frac{14\cdot52}{\gcd(14,52)}\\&=364.\end{aligned}$

9.

Halla el menor entero positivo cuyo cubo termina en $888.$

Find the smallest positive integer whose cube ends in $888.$

Respuesta

Conceptos:aritmética modular dígito de las unidades cuadrática

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

La cifra de las unidades obliga a que el número tenga la forma $10a+2$

The units digit forces the number to have the form $10a+2$

Pista grande:

Reduce primero $(10a+2)^3\equiv888\pmod{1000}$ módulo $125$

Reduce $(10a+2)^3\equiv888\pmod{1000}$ first modulo $125$

Solución:

Escribe el número como $10a+2.$ Al desarrollar la congruencia requerida módulo $125$ y dividir entre $5$ se obtiene $20a^2-a-1\equiv0\pmod{25}.$ Al reducir primero módulo $5$ se obtiene $a\equiv4\pmod5;$ al sustituir $a=4+5b$ se obtiene después $b\equiv3\pmod5.$ Así, $a\equiv19\pmod{25},$ y el menor candidato es $10(19)+2=192.$ Es par, así que su cubo también es $0\pmod8,$ y en efecto $192^3=7{,}077{,}888.$

Write the number as $10a+2.$ Expanding the required congruence modulo $125$ and dividing by $5$ gives $20a^2-a-1\equiv0\pmod{25}.$ Reducing first modulo $5$ gives $a\equiv4\pmod5;$ substituting $a=4+5b$ then gives $b\equiv3\pmod5.$ Thus $a\equiv19\pmod{25},$ and the smallest candidate is $10(19)+2=192.$ It is even, so its cube is also $0\pmod8,$ and indeed $192^3=7{,}077{,}888.$

10.

Un poliedro convexo tiene como caras $12$ cuadrados, $8$ hexágonos regulares y $6$ octágonos regulares. En cada vértice del poliedro se encuentran un cuadrado, un hexágono y un octágono. ¿Cuántos segmentos que unen vértices del poliedro están en su interior, en vez de estar sobre una arista o una cara?

A convex polyhedron has for its faces $12$ squares, $8$ regular hexagons, and $6$ regular octagons. At each vertex of the polyhedron one square, one hexagon, and one octagon meet. How many segments joining vertices of the polyhedron lie in the interior of the polyhedron rather than along an edge or a face?

Respuesta

Conceptos:poliedro doble conteo combinaciones

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Cuenta por duplicado las incidencias cara-vértice y cara-arista para hallar $V$ y $E$

Double-count face-vertex and face-edge incidences to find $V$ and $E$

Pista grande:

Cuenta todos los pares de vértices y resta los que están juntos en una cara, corrigiendo el doble conteo de las aristas

Count all vertex pairs, then subtract pairs lying together on a face, correcting the double count of edges

Solución:

La cantidad total de incidencias cara-vértice es $12(4)+8(6)+6(8)=144.$ En cada vértice se encuentran tres caras, así que $V=48.$ La misma suma cuenta dos veces cada arista, por lo que $E=72.$

Hay $\binom{48}{2}=1128$ pares de vértices. Al sumar los pares de cada cara se obtiene $12\binom42+8\binom62+6\binom82=360.$ Cada arista se contó dos veces en esta suma y cada otro par de una misma cara una vez, así que la cantidad de pares distintos de la frontera es $360-E=288.$ Por tanto, $1128-288=840$ segmentos que unen vértices están en el interior.

The total number of face-vertex incidences is $12(4)+8(6)+6(8)=144.$ Three faces meet at each vertex, so $V=48.$ The same sum counts each edge twice, so $E=72.$

There are $\binom{48}{2}=1128$ vertex pairs. Summing pairs on faces gives $12\binom42+8\binom62+6\binom82=360.$ Every edge was counted twice in this sum and every other same-face pair once, so the number of distinct boundary pairs is $360-E=288.$ Hence $1128-288=840$ joining segments lie in the interior.

11.

Sean $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ números complejos. Una recta $L$ del plano complejo se llama recta media de los puntos $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ si $L$ contiene puntos (números complejos) $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ tales que

$\sum_{k=1}^n(z_k-w_k)=0.$

Para los números $w_1=32+170i,$ $w_2=-7+64i,$ $w_3=-9+200i,$ $w_4=1+27i,$ y $w_5=-14+43i,$ hay una única recta media cuya intersección con el eje $y$ es $3.$ Halla la pendiente de esta recta media.

Let $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ be complex numbers. A line $L$ in the complex plane is called a mean line for the points $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ if $L$ contains points (complex numbers) $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ such that

$\sum_{k=1}^n(z_k-w_k)=0.$

For the numbers $w_1=32+170i,$ $w_2=-7+64i,$ $w_3=-9+200i,$ $w_4=1+27i,$ and $w_5=-14+43i,$ there is a unique mean line with $y$ -intercept $3.$ Find the slope of this mean line.

Respuesta

Conceptos:número complejo baricentro pendiente

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Usa la ecuación $\sum(z_k-w_k)=0$ para comparar los promedios de los dos conjuntos de puntos

Average the equation $\sum(z_k-w_k)=0$

Pista grande:

Una recta media es exactamente una recta que pasa por el centroide de los puntos dados

A mean line is exactly a line through the centroid of the given points

Solución:

La condición dice que el promedio de los $z_k$ es igual al promedio de los $w_k.$ Como todos los $z_k$ están en $L,$ su promedio está en $L;$ a la inversa, cualquier recta que pase por el promedio funciona tomando todos los $z_k$ iguales a ese punto. El centroide satisface $\begin{aligned}\bar x&=\frac{32-7-9+1-14}{5}=\frac35,\\\bar y&=\frac{170+64+200+27+43}{5}\\&=\frac{504}{5}.\end{aligned}$ La recta que pasa por este punto y $(0,3)$ tiene pendiente $\frac{\bigl(\frac{504}{5}-3\bigr)}{\frac35}=163.$

The condition says that the average of the $z_k$ equals the average of the $w_k.$ Since all $z_k$ lie on $L,$ their average lies on $L;$ conversely, any line through the average works by taking all $z_k$ equal to that point. The centroid satisfies $\begin{aligned}\bar x&=\frac{32-7-9+1-14}{5}=\frac35,\\\bar y&=\frac{170+64+200+27+43}{5}\\&=\frac{504}{5}.\end{aligned}$ The line through this point and $(0,3)$ has slope $\frac{\bigl(\frac{504}{5}-3\bigr)}{\frac35}=163.$

12.

Sea $P$ un punto interior del triángulo $ABC$ . Desde cada vértice, traza una recta que pase por $P$ y llegue al lado opuesto. Sean $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ las longitudes de los segmentos indicados en la figura. Halla el producto $abc$ si $a+b+c=43$ y $d=3.$

Let $P$ be an interior point of triangle $ABC$ and extend lines from the vertices through $P$ to the opposite sides. Let $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ denote the lengths of the segments indicated in the figure. Find the product $abc$ if $a+b+c=43$ and $d=3.$

Respuesta

Conceptos:puntos de masa razón y proporción simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Expresa las tres coordenadas baricéntricas de $P$ usando las razones $a:d,$ $b:d,$ $c:d$

Express the three barycentric coordinates of $P$ using the ratios $a:d,$ $b:d,$ $c:d$

Pista grande:

Usa $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1$ y desarrolla simétricamente

Use $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1$ and expand symmetrically

Solución:

A lo largo de la ceviana desde $A,$ la coordenada baricéntrica correspondiente a $A$ es $\frac{d}{a+d},$ y de forma análoga en los otros vértices. Como las tres coordenadas suman $1$ y $d=3,$ $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1.$ Sean $s_1=a+b+c=43,$ $s_2=ab+bc+ca,$ y $s_3=abc.$ Al eliminar denominadores se obtiene $\begin{aligned}3(s_2+6s_1+27)&=s_3+3s_2\\&\quad+9s_1+27.\end{aligned}$ Por tanto, $s_3=9s_1+54,$ así que $s_3=9(43)+54=441.$

Along the cevian from $A,$ the barycentric coordinate at $A$ is $\frac{d}{a+d},$ and similarly at the other vertices. Since the three coordinates sum to $1$ and $d=3,$ $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1.$ Put $s_1=a+b+c=43,$ $s_2=ab+bc+ca,$ and $s_3=abc.$ Clearing denominators gives $\begin{aligned}3(s_2+6s_1+27)&=s_3+3s_2\\&\quad+9s_1+27.\end{aligned}$ Therefore $s_3=9s_1+54,$ so $s_3=9(43)+54=441.$

13.

Halla $a$ si $a$ y $b$ son enteros tales que $x^2-x-1$ es un factor de $ax^{17}+bx^{16}+1.$

Find $a$ if $a$ and $b$ are integers such that $x^2-x-1$ is a factor of $ax^{17}+bx^{16}+1.$

Respuesta

Conceptos:polinomio Fibonacci sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Módulo $x^2-x-1,$ las potencias satisfacen $x^n=F_nx+F_{n-1}$

Modulo $x^2-x-1,$ powers satisfy $x^n=F_nx+F_{n-1}$

Pista grande:

Iguala a cero ambos coeficientes del resto lineal y usa la identidad de Cassini

Set both coefficients of the linear remainder equal to zero and use Cassini’s identity

Solución:

Módulo $x^2-x-1,$ la relación $x^2=x+1$ da $x^n=F_nx+F_{n-1}.$ Por tanto, el resto es $\begin{aligned}r(x)={}&(1597a+987b)x\\&+(987a+610b+1).\end{aligned}$ Ambos coeficientes deben anularse. Por la identidad de Cassini, el determinante de la matriz de coeficientes es $1597(610)-987^2=1$ y la regla de Cramer da entonces $a=987.$

Modulo $x^2-x-1,$ the relation $x^2=x+1$ gives $x^n=F_nx+F_{n-1}.$ Hence the remainder is $\begin{aligned}r(x)={}&(1597a+987b)x\\&+(987a+610b+1).\end{aligned}$ Both coefficients must vanish. The determinant of the coefficient matrix is $1597(610)-987^2=1$ by Cassini’s identity. Cramer’s rule then gives $a=987.$

14.

Sea $C$ la gráfica de $xy=1,$ y sea $C^*$ la reflexión de $C$ respecto de la recta $y=2x.$ Escribe la ecuación de $C^*$ en la forma

$12x^2+bxy+cy^2+d=0.$

Halla el producto $bc.$

Let $C$ be the graph of $xy=1,$ and denote by $C^*$ the reflection of $C$ in the line $y=2x.$ Let the equation of $C^*$ be written in the form

$12x^2+bxy+cy^2+d=0.$

Find the product $bc.$

Respuesta

Conceptos:reflexión (geometría)transformación hipérbola

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Halla la matriz de reflexión respecto de la recta generada por $(1,2)$

Find the reflection matrix for the line spanned by $(1,2)$

Pista grande:

Como una reflexión es su propia inversa, sustituye las coordenadas reflejadas en $uv=1$

Because reflection is its own inverse, substitute the reflected coordinates into $uv=1$

Solución:

La reflexión respecto de la recta generada por $(1,2)$ tiene matriz $\frac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}.$ Así, un punto $(x,y)$ de $C^*$ corresponde a un punto cuyas coordenadas son $u=\frac{-3x+4y}{5}$ y $v=\frac{4x+3y}{5},$ situado en $C.$ Al sustituir $uv=1$ se obtiene $-12x^2+7xy+12y^2-25=0,$ o bien $12x^2-7xy-12y^2+25=0.$ Por tanto, $b=-7,$ $c=-12,$ y $bc=84.$

Reflection in the line spanned by $(1,2)$ has matrix $\frac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}.$ Thus a point $(x,y)$ on $C^*$ came from $u=\frac{-3x+4y}{5}$ and $v=\frac{4x+3y}{5}$ on $C.$ Substituting $uv=1$ gives $-12x^2+7xy+12y^2-25=0,$ or $12x^2-7xy-12y^2+25=0.$ Hence $b=-7,$ $c=-12,$ and $bc=84.$

15.

En una oficina, en distintos momentos del día, el jefe entrega a la secretaria una carta para mecanografiar y cada vez la pone encima de la pila de su bandeja de entrada. Cuando tiene tiempo, la secretaria retira la carta superior y la mecanografía. Hay nueve cartas para mecanografiar durante el día, y el jefe las entrega en el orden $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9.$

Al salir a almorzar, la secretaria le dice a un colega que la carta $8$ ya fue mecanografiada, pero no cuenta nada más sobre el trabajo de la mañana. El colega se pregunta cuáles de las nueve cartas quedan para después del almuerzo y en qué orden se mecanografiarán. Según la información anterior, ¿cuántas secuencias de mecanografiado para después del almuerzo son posibles? (Que no quede ninguna carta es una de las posibilidades.)

In an office at various times during the day, the boss gives the secretary a letter to type, each time putting the letter on top of the pile in the secretary’s in-box. When there is time, the secretary takes the top letter off the pile and types it. There are nine letters to be typed during the day, and the boss delivers them in the order $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9.$

While leaving for lunch, the secretary tells a colleague that letter $8$ has already been typed, but says nothing else about the morning’s typing. The colleague wonders which of the nine letters remain to be typed after lunch and in what order they will be typed. Based upon the above information, how many such after-lunch typing orders are possible? (That there are no letters left to be typed is one of the possibilities.)

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones subconjuntos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Después de mecanografiar $8$ , las cartas restantes entre $1,\ldots,7$ deben mecanografiarse luego en orden decreciente

After $8$ has been typed, any remaining letters among $1,\ldots,7$ must later be typed in decreasing order

Pista grande:

Separa los casos según que $9$ haya sido mecanografiada antes del almuerzo o quede por insertar en el orden posterior

Separate the cases according to whether $9$ was typed before lunch or remains to be inserted into the later order

Solución:

Cualquier subconjunto de $1,\ldots,7$ puede permanecer en la pila después de mecanografiar $8$ , y esas cartas restantes deben mecanografiarse luego en orden decreciente. Si $9$ ya fue mecanografiada, elegir ese subconjunto da $2^7=128$ órdenes posibles.

Si $9$ permanece, elige $k$ de las siete cartas menores e inserta $9$ en cualquiera de las $k+1$ posiciones de su orden decreciente. Esto da $\begin{aligned}\sum_{k=0}^7\binom7k(k+1)&=7\cdot2^6+2^7\\&=576.\end{aligned}$ Toda secuencia de este tipo puede realizarse mediante una organización adecuada de las entregas y la mecanografía durante la mañana, por lo que el total es $128+576=704.$

Any subset of $1,\ldots,7$ can remain in the stack after $8$ has been typed, and those remaining letters must later be typed in decreasing order. If $9$ was already typed, choosing that subset gives $2^7=128$ possible orders.

If $9$ remains, choose $k$ of the seven smaller letters and insert $9$ into any of the $k+1$ positions in their decreasing order. This gives $\begin{aligned}\sum_{k=0}^7\binom7k(k+1)&=7\cdot2^6+2^7\\&=576.\end{aligned}$ Every such order can be realized by suitable morning choices, so the total is $128+576=704.$