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2010 AIME I Problema 5

Intenta el Problema 5 del 2010 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

5.

Los enteros positivos a,a, b,b, c,c, y dd satisfacen a>b>c>d,a \gt b \gt c \gt d, a+b+c+d=2010,a + b + c + d = 2010, y a2−b2+c2−d2=2010.a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010. Halle el número de valores posibles de a.a.
Positive integers a,a, b,b, c,c, and dd satisfy a>b>c>d,a \gt b \gt c \gt d, a+b+c+d=2010,a + b + c + d = 2010, and a2−b2+c2−d2=2010.a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010. Find the number of possible values of a.a.
Respuesta: 501
Conceptos:diferencia de cuadradosacotación a casos límiteconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 2230
Pista pequeña:
Factorice: a2−b2+c2−d2a^2 - b^2 + c^2 - d^2 =(a−b)(a+b)= (a-b)(a+b) +(c−d)(c+d)+ (c-d)(c+d) ≥(a+b)+(c+d)\ge (a+b) + (c+d)
Factor: a2−b2+c2−d2a^2 - b^2 + c^2 - d^2 =(a−b)(a+b)= (a-b)(a+b) +(c−d)(c+d)+ (c-d)(c+d) ≥(a+b)+(c+d)\ge (a+b) + (c+d)
Pista grande:
La igualdad obliga a a−b=c−d=1,a - b = c - d = 1, así que a+c=1006;a + c = 1006; luego halle el rango de aa permitido por b>cb \gt c y d≥1d \ge 1
Equality forces a−b=c−d=1,a - b = c - d = 1, so a+c=1006;a + c = 1006; then find the range of aa allowed by b>cb \gt c and d≥1d \ge 1
Solución:
Factorizando, a2−b2+c2−d2=(a−b)(a+b)+(c−d)(c+d)≥(a+b)+(c+d)=2010, \begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered} ya que a−b≥1a - b \ge 1 y c−d≥1.c - d \ge 1. Se cumple la igualdad, así que a−b=c−d=1,a - b = c - d = 1, es decir, b=a−1b = a - 1 y d=c−1.d = c - 1. Entonces 2010=a+(a−1)+c+(c−1)2010 = a + (a-1) + c + (c-1) da a+c=1006.a + c = 1006.
La condición b>cb \gt c significa a−1>c=1006−a,a - 1 \gt c = 1006 - a, así que a≥504,a \ge 504, y d≥1d \ge 1 significa c≥2,c \ge 2, así que a≤1004.a \le 1004. Todo aa en este rango funciona, mediante (a,b,c,d)(a, b, c, d) =(a, a−1, = (a,\, a-1,\, 1006−a, 1005−a).1006-a,\, 1005-a).
El conteo es 1004−504+1=501.1004 - 504 + 1 = 501.
Factoring, a2−b2+c2−d2=(a−b)(a+b)+(c−d)(c+d)≥(a+b)+(c+d)=2010, \begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered} since a−b≥1a - b \ge 1 and c−d≥1.c - d \ge 1. Equality holds, so a−b=c−d=1,a - b = c - d = 1, that is, b=a−1b = a - 1 and d=c−1.d = c - 1. Then 2010=a+(a−1)+c+(c−1)2010 = a + (a-1) + c + (c-1) gives a+c=1006.a + c = 1006.
The condition b>cb \gt c means a−1>c=1006−a,a - 1 \gt c = 1006 - a, so a≥504,a \ge 504, and d≥1d \ge 1 means c≥2,c \ge 2, so a≤1004.a \le 1004. Every aa in this range works, via (a,b,c,d)(a, b, c, d) =(a, a−1, = (a,\, a-1,\, 1006−a, 1005−a).1006-a,\, 1005-a).
The count is 1004−504+1=501.1004 - 504 + 1 = 501.
Problema 4#4
Examen completo
Problema 6#6

El Problema 5 en otros años

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