Question

Los enteros positivos $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ satisfacen $a \gt b \gt c \gt d,$ $a + b + c + d = 2010,$ y $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010.$ Halle el número de valores posibles de $a.$

Positive integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ satisfy $a \gt b \gt c \gt d,$ $a + b + c + d = 2010,$ and $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010.$ Find the number of possible values of $a.$

Respuesta

Solución:

Factorizando, $\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered}$ ya que $a - b \ge 1$ y $c - d \ge 1.$ Se cumple la igualdad, así que $a - b = c - d = 1,$ es decir, $b = a - 1$ y $d = c - 1.$ Entonces $2010 = a + (a-1) + c + (c-1)$ da $a + c = 1006.$

La condición $b \gt c$ significa $a - 1 \gt c = 1006 - a,$ así que $a \ge 504,$ y $d \ge 1$ significa $c \ge 2,$ así que $a \le 1004.$ Todo $a$ en este rango funciona, mediante $(a, b, c, d)$ $= (a,\, a-1,\,$ $1006-a,\, 1005-a).$

El conteo es $1004 - 504 + 1 = 501.$

Factoring, $\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered}$ since $a - b \ge 1$ and $c - d \ge 1.$ Equality holds, so $a - b = c - d = 1,$ that is, $b = a - 1$ and $d = c - 1.$ Then $2010 = a + (a-1) + c + (c-1)$ gives $a + c = 1006.$

The condition $b \gt c$ means $a - 1 \gt c = 1006 - a,$ so $a \ge 504,$ and $d \ge 1$ means $c \ge 2,$ so $a \le 1004.$ Every $a$ in this range works, via $(a, b, c, d)$ $= (a,\, a-1,\,$ $1006-a,\, 1005-a).$

The count is $1004 - 504 + 1 = 501.$

2010 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años