Question

Al lanzar cierto dado injusto de seis caras numeradas $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ y $6,$ la probabilidad de obtener la cara $F$ es mayor que $\frac{1}{6},$ la probabilidad de obtener la cara opuesta a la cara $F$ es menor que $\frac{1}{6},$ la probabilidad de obtener cada una de las demás caras es $\frac{1}{6},$ y la suma de los números en cada par de caras opuestas es $7.$ Al lanzar dos de estos dados, la probabilidad de obtener una suma de $7$ es $\frac{47}{288}.$ Dado que la probabilidad de obtener la cara $F$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

When rolling a certain unfair six-sided die with faces numbered $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ and $6,$ the probability of obtaining face $F$ is greater than $\frac{1}{6},$ the probability of obtaining the face opposite face $F$ is less than $\frac{1}{6},$ the probability of obtaining each of the other faces is $\frac{1}{6},$ and the sum of the numbers on each pair of opposite faces is $7.$ When two such dice are rolled, the probability of obtaining a sum of $7$ is $\frac{47}{288}.$ Given that the probability of obtaining face $F$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea la probabilidad de la cara $F$ igual a $\frac{1}{6} + x,$ de modo que la cara opuesta a $F$ tiene probabilidad $\frac{1}{6} - x$ (las seis probabilidades deben sumar $1$ ). Como las caras opuestas suman $7,$ un total de $7$ ocurre exactamente cuando los dos dados muestran un par de caras opuestas. De los seis pares ordenados que suman $7,$ cuatro usan solo caras ordinarias, y dos emparejan $F$ con su opuesta. Así $\begin{aligned} \frac{47}{288} &= 4\left(\frac{1}{6}\right)^2 \\ &\quad {}+ 2\left(\frac{1}{6} + x\right)\left(\frac{1}{6} - x\right) \\ &= \frac{1}{6} - 2x^2. \end{aligned}$

Como $\frac{1}{6} = \frac{48}{288},$ esto da $2x^2 = \frac{1}{288},$ así que $x = \frac{1}{24}.$ La probabilidad de la cara $F$ es $\frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{5}{24},$ y $m + n = 5 + 24 = 29.$

Let the probability of face $F$ be $\frac{1}{6} + x,$ so the face opposite $F$ has probability $\frac{1}{6} - x$ (the six probabilities must sum to $1$ ). Since opposite faces sum to $7,$ a total of $7$ occurs exactly when the two dice show a pair of opposite faces. Of the six ordered pairs that sum to $7,$ four use only ordinary faces, and two pair $F$ with its opposite. Thus $\begin{aligned} \frac{47}{288} &= 4\left(\frac{1}{6}\right)^2 \\ &\quad {}+ 2\left(\frac{1}{6} + x\right)\left(\frac{1}{6} - x\right) \\ &= \frac{1}{6} - 2x^2. \end{aligned}$

Since $\frac{1}{6} = \frac{48}{288},$ this gives $2x^2 = \frac{1}{288},$ so $x = \frac{1}{24}.$ The probability of face $F$ is $\frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{5}{24},$ and $m + n = 5 + 24 = 29.$

2006 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años