Question

Sea $P$ un punto sobre la circunferencia circunscrita al cuadrado $ABCD$ que satisface $PA \cdot PC = 56$ y $PB \cdot PD = 90.$ Halla el área de $ABCD.$

Let $P$ be a point on the circle circumscribing square $ABCD$ that satisfies $PA \cdot PC = 56$ and $PB \cdot PD = 90.$ Find the area of $ABCD.$

Respuesta

Solución:

Sea la circunferencia de centro $O$ y radio $R,$ con $A = (R, 0),$ $B = (0, R),$ $C = (-R, 0),$ $D = (0, -R),$ y $P = (R\cos\theta, R\sin\theta).$ Entonces $PA^2 = 2R^2(1 - \cos\theta)$ y $PC^2 = 2R^2(1 + \cos\theta),$ así que $PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta| = 56.$ De la misma forma $PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta| = 90.$

Elevando al cuadrado y sumando, $4R^4 = 56^2 + 90^2 = 11236,$ así que $2R^2 = \sqrt{11236} = 106.$ El cuadrado tiene diagonal $2R,$ por lo que su área es $\frac{(2R)^2}{2} = 2R^2 = 106.$

Let the circle have center $O$ and radius $R,$ with $A = (R, 0),$ $B = (0, R),$ $C = (-R, 0),$ $D = (0, -R),$ and $P = (R\cos\theta, R\sin\theta).$ Then $PA^2 = 2R^2(1 - \cos\theta)$ and $PC^2 = 2R^2(1 + \cos\theta),$ so $PA \cdot PC = 2R^2|\sin\theta| = 56.$ In the same way $PB \cdot PD = 2R^2|\cos\theta| = 90.$

Squaring and adding, $4R^4 = 56^2 + 90^2 = 11236,$ so $2R^2 = \sqrt{11236} = 106.$ The square has diagonal $2R,$ hence area $\frac{(2R)^2}{2} = 2R^2 = 106.$

2023 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años