Question

Para completar un trabajo grande se contrataron $1000$ trabajadores, justo los suficientes para terminar el trabajo a tiempo. Todos los trabajadores permanecieron en el trabajo mientras se realizaba el primer cuarto de la obra, así que el primer cuarto de la obra se completó a tiempo. Luego se despidió a $100$ trabajadores, de modo que el segundo cuarto de la obra se completó con retraso. Luego se despidió a otros $100$ trabajadores, de modo que el tercer cuarto de la obra se completó con aún más retraso. Dado que todos los trabajadores trabajan al mismo ritmo, ¿cuál es el mínimo número de trabajadores adicionales, además de los $800$ trabajadores que aún quedan al final del tercer cuarto, que deben contratarse después de haberse completado tres cuartos de la obra para que el proyecto entero pueda completarse a tiempo o antes?

In order to complete a large job, $1000$ workers were hired, just enough to complete the job on schedule. All the workers stayed on the job while the first quarter of the work was done, so the first quarter of the work was completed on schedule. Then $100$ workers were laid off, so the second quarter of the work was completed behind schedule. Then an additional $100$ workers were laid off, so the third quarter of the work was completed still further behind schedule. Given that all workers work at the same rate, what is the minimum number of additional workers, beyond the $800$ workers still on the job at the end of the third quarter, that must be hired after three-quarters of the work has been completed so that the entire project can be completed on schedule or before?

Respuesta

Solución:

Mide el tiempo de modo que $1000$ trabajadores completen un cuarto del trabajo en $1$ unidad; el programa permite $4$ unidades en total. Con $900$ trabajadores el segundo cuarto toma $\frac{10}{9}$ unidades, y con $800$ trabajadores el tercer cuarto toma $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ unidades. El tiempo usado hasta ahora es $1 + \frac{10}{9} + \frac{5}{4} = \frac{121}{36},$ dejando $4 - \frac{121}{36} = \frac{23}{36}$ de unidad para el último cuarto.

El último cuarto requiere $1000$ unidades-trabajador de labor, así que la fuerza laboral $w$ debe satisfacer $w \cdot \frac{23}{36} \ge 1000,$ es decir $w \ge \frac{36000}{23} \approx 1565.2,$ por lo que se necesitan al menos $1566$ trabajadores.

Como $800$ permanecen en el trabajo, deben contratarse al menos $1566 - 800 = 766$ trabajadores adicionales.

Measure time so that $1000$ workers complete a quarter of the job in $1$ unit; the schedule allows $4$ units in all. With $900$ workers the second quarter takes $\frac{10}{9}$ units, and with $800$ workers the third quarter takes $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ units. The time used so far is $1 + \frac{10}{9} + \frac{5}{4} = \frac{121}{36},$ leaving $4 - \frac{121}{36} = \frac{23}{36}$ of a unit for the last quarter.

The last quarter requires $1000$ worker-units of labor, so the workforce $w$ must satisfy $w \cdot \frac{23}{36} \ge 1000,$ that is $w \ge \frac{36000}{23} \approx 1565.2,$ so at least $1566$ workers are needed.

Since $800$ remain on the job, at least $1566 - 800 = 766$ additional workers must be hired.

2004 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años