Question

Para ciertos valores reales de $a,$ $b,$ $c,$ y $d,$ la ecuación $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ tiene cuatro raíces no reales. El producto de dos de ellas es $13+i$ y la suma de las otras dos es $3+4i,$ donde $i=\sqrt{-1}.$ Halla $b.$

For certain real values of $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ the equation $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ has four non-real roots. The product of two of these roots is $13+i$ and the sum of the other two roots is $3+4i,$ where $i=\sqrt{-1}.$ Find $b.$

Respuesta

Respuesta: 51

Conceptos:número complejo Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Como el polinomio tiene coeficientes reales, sus raíces no reales aparecen en pares conjugados

Because the polynomial has real coefficients, its non-real roots occur in conjugate pairs

Pista grande:

Agrupa los seis productos por pares en los productos internos de los dos grupos y los cuatro productos cruzados

Group the six pairwise products into the products within the two groups and the four cross-products

Solución:

Sean las dos primeras raíces $\alpha$ y $\beta.$ Como $\alpha\beta=13+i$ no es real, no son conjugadas, así que las otras raíces son $\overline\alpha$ y $\overline\beta.$ Por consiguiente, $\alpha+\beta=3-4i$ y $\overline\alpha\,\overline\beta=13-i.$ Por las fórmulas de Vieta, $\begin{aligned}b&=\alpha\beta+\overline\alpha\,\overline\beta\\&\quad+(3-4i)(3+4i)\\&=26+25=51.\end{aligned}$

Let the first two roots be $\alpha$ and $\beta.$ Since $\alpha\beta=13+i$ is not real, they are not conjugates, so the other roots are $\overline\alpha$ and $\overline\beta.$ Hence $\alpha+\beta=3-4i$ and $\overline\alpha\,\overline\beta=13-i.$ By Vieta’s formulas, $\begin{aligned}b&=\alpha\beta+\overline\alpha\,\overline\beta\\&\quad+(3-4i)(3+4i)\\&=26+25=51.\end{aligned}$

1995 AIME Problema 5

Respuesta: 51

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años