Question

Al lanzar cinco veces cierta moneda sesgada, la probabilidad de obtener cara exactamente una vez no es $0$ y es igual a la de obtener cara exactamente dos veces. Sea $\frac{i}{j},$ en su mínima expresión, la probabilidad de que la moneda dé cara en exactamente $3$ de los $5$ lanzamientos. Halla $i+j.$

When a certain biased coin is flipped five times, the probability of getting heads exactly once is not equal to $0$ and is the same as that of getting heads exactly twice. Let $\frac{i}{j},$ in lowest terms, be the probability that the coin comes up heads in exactly $3$ out of $5$ flips. Find $i+j.$

Respuesta

Respuesta: 283

Conceptos:probabilidad binomial fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sea $p$ la probabilidad de obtener cara e iguala las dos probabilidades binomiales

Let $p$ be the probability of heads and equate the two binomial probabilities

Pista grande:

Cancela los factores comunes no nulos antes de despejar $p$

Cancel the nonzero common factors before solving for $p$

Solución:

Sea $p$ la probabilidad de obtener cara. La condición da $5p(1-p)^4=10p^2(1-p)^3.$ La condición de que la probabilidad no sea cero permite cancelar factores, lo que da $1-p=2p,$ y por tanto $p=\frac{1}{3}.$ La probabilidad de obtener exactamente tres caras es $\binom53\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2=\frac{40}{243}.$ Por lo tanto, $i+j=40+243=283.$

Let $p$ be the probability of heads. The condition gives $5p(1-p)^4=10p^2(1-p)^3.$ The stated nonzero condition permits cancellation, yielding $1-p=2p,$ so $p=\frac{1}{3}.$ The probability of exactly three heads is $\binom53\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2=\frac{40}{243}.$ Therefore $i+j=40+243=283.$

1989 AIME Problema 5

Respuesta: 283

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años