Question

Si $a<b<c<d<e$ son enteros positivos consecutivos tales que $b+c+d$ es un cuadrado perfecto y $a+b+c+d+e$ es un cubo perfecto, ¿cuál es el menor valor posible de $c$ ?

If $a<b<c<d<e$ are consecutive positive integers such that $b+c+d$ is a perfect square and $a+b+c+d+e$ is a perfect cube, what is the smallest possible value of $c?$

Respuesta

Respuesta: 675

Conceptos:potencia perfecta cuadrado perfecto factorización en primos

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Expresa ambas sumas en función del entero central $c$

Express both sums in terms of the middle integer $c$

Pista grande:

Compara los exponentes primos de $3c$ y $5c$ módulo $2$ y módulo $3$

Compare the prime exponents in $3c$ and $5c$ modulo $2$ and modulo $3$

Solución:

Las dos sumas son $3c$ y $5c.$ Si $c=\prod p^{v_p},$ que $3c$ sea un cuadrado y $5c$ sea un cubo impone condiciones sobre cada exponente. Para $p=3,$ el menor exponente de $c$ que es impar y divisible por $3$ es $3.$ Para $p=5,$ el menor exponente que es par y congruente con $2\pmod3$ es $2.$ Todos los demás exponentes primos pueden ser $0.$ Por lo tanto, el menor valor posible es $c=3^3\cdot5^2=675.$

The two sums are $3c$ and $5c.$ If $c=\prod p^{v_p},$ then $3c$ being a square and $5c$ being a cube impose conditions on every exponent. For $p=3,$ the smallest exponent in $c$ that is odd and divisible by $3$ is $3.$ For $p=5,$ the smallest exponent that is even and congruent to $2\pmod3$ is $2.$ Every other prime exponent can be $0.$ Thus the least possible value is $c=3^3\cdot5^2=675.$

1989 AIME Problema 4

Respuesta: 675

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años